Para un campo magnético constante, ¿existe una galga con ambos momentos canónicos conservados?

Question

Para describir un campo magnético constante $\mathbf B=(0,0,B)$ (ignorando el movimiento a lo largo del $z$ dimensión) dentro de la mecánica hamiltoniana (o cuántica), hay que elegir un calibre. Un calibre común es el calibre simétrico, en el que el potencial vectorial es $\mathbf A=\frac12(-By,Bx,0)$ y el hamiltoniano es $$ H=\frac{1}{2m}\left(p_x+\frac{eB}{2m}y\right)^2 + \frac{1}{2m}\left(p_y-\frac{eB}{2m}x\right)^2. $$ Del mismo modo, también se puede elegir el gauge Landau, que rompe la simetría para tomar un potencial vectorial de la forma $\mathbf A=(0,Bx,0)$ , dando el hamiltoniano como $$ H=\frac{1}{2m}p_x^2 + \frac{1}{2m}\left(p_y-\frac{eB}{m}x\right)^2. $$

Se puede demostrar fácilmente que el problema tiene dos cantidades conservadas, $$ x_0= x+\frac{mc}{eB}v_y \quad\text{and}\quad y_0 =y-\frac{m c}{eB}v_x, $$ que dan el centro del movimiento circular clásico. Como mostré en un respuesta anterior el gauge de Landau consigue rotar sus ejes dentro del espacio de fase de forma que se establece el momento canónico $p_y$ eje a lo largo de una de estas dos cantidades conservadas (específicamente, $x_0$ ), por lo que se conserva. (Esta conservación puede verse fácilmente en el hecho de que $H$ no depende de $y$ .) Esto no es particularmente problemático, ya que el momento canónico está ahora relacionado con el momento cinemático (no conservado) a través de $mv_y=p_y+\frac{eB}{c}x$ .

Sin embargo, esto es un poco feo ya que rompes la simetría, y sólo obtienes una componente conservada del momento canónico, en un problema que es manifiestamente simétrico a la rotación.

Mi pregunta, entonces, es si existe una transformación gauge que convierta ambos momentos canónicos en cantidades conservadas. Si no es así, entonces, a la inversa, ¿es posible demostrar que esto es imposible?

Answer 1

La condición de que el $p_i$ se conserve es equivalente a $\{H,p_i\} = 0$ para el Hamiltoniano $H = (p-A)^2$ donde he eliminado todas las constantes por comodidad. Un cálculo sencillo da como resultado $$ \{H,p_i\} = -2\sum_j \frac{\partial A_k}{\partial x^i}(p_k - A_k)$$ y $p_k =A_k(x)$ es imposible, ya que se trata de una ecuación off-shell en la que $p$ y $x$ son independientes. Conservación del momento canónico $p_i$ es, por tanto, equivalente a $$ \frac{\partial A}{\partial x^i} = 0,$$ o, en otras palabras, $A(x,y,z) = A(z)$ si queremos ambos $p_x$ y $p_y$ para ser conservado. Pero el campo magnético de tal potencial vectorial es $$ B = \nabla\times A = \begin{pmatrix} -\partial_z A_y \\ \partial_z A_x \\ 0\end{pmatrix},$$ que obviamente nunca puede ser igual a $B = (0,0,B)$ . Por lo tanto, es imposible una galga en la que se conserven ambos momentos canónicos.