Deje $X\to Y$ ser un número finito de morfismos entre los esquemas,$F$ ser una gavilla de abelian grupos, pero no necesariamente cuasi coherente. Qué $H^i(X,F)\cong H^i(Y,f_*F)$ todavía se mantienen para gavilla cohomology con topología de Zariski? (Para etale cohomology)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Gran pregunta! Aquí es un contraejemplo:
Deje $(A,\mathfrak m)$ ser un DVR, y deje $A \subseteq B$ ser finito, la extensión de los dominios que $B$ tiene exactamente dos primos por encima de $\mathfrak m$. Por ejemplo, $A = \mathbb Z_{(5)}$, e $B = \mathbb Z_{(5)}[i]$, con los números primos $(1+2i), (1-2i)$ está por encima $(5)$.
A continuación, $Y = \operatorname{Spec} A$ es el espacio $\{x,\eta\}$ que $x$ es cerrado y $\eta$ está abierto, y $X = \operatorname{Spec} B$ es el espacio $\{x, y,\eta\}$ que $x$ $y$ están cerrados, pero $\eta$ no lo es. El mapa envía tanto $x$$y$$x$, e $\eta$$\eta$.
Lema 1. Deje $\mathcal F$ ser una gavilla en $Y$. A continuación, $H^i(Y, \mathcal F) = 0$ todos los $i > 0$.
Prueba. Vamos a mostrar que tomar global de las secciones es exacta. Dado un surjection $\mathcal F \to \mathcal G$$Y$, y una sección global $s \in \mathcal G(Y)$, existe una cubierta en la que $s$ proviene de $\mathcal F$. Pero cada cubrimiento de $Y$ tiene que incluir una copia de $Y$ sí, por lo $s$ proviene de $\mathcal F(Y)$. $\square$
Observación. El lema de hecho se generaliza (con la misma prueba!) arbitraria local de los anillos. De hecho, la única que contiene el punto de cierre de $Y$ $Y$ sí.
Ahora es suficiente para construir una gavilla $\mathcal F$ $X$ cuyo primer cohomology es trivial. Para ello, el recuerdo de Hartshorne Ejercicio II.1.19 la secuencia exacta $$0 \to j_! (\mathcal F|_U) \to \mathcal F \to i_* (\mathcal F|_Z) \to 0,$$ donde $j \colon U \to X$ $i \colon Z \to X$ son un complemento de abierto y cerrado, situado en un espacio topológico $X$.
Lema 2. Vamos $U = \{\eta\}$, $Z = \{x,y\}$, y $\mathcal F = \mathbb Z$ (la constante de la gavilla). A continuación, $\mathcal F(X) \to i_*(\mathcal F|_Z) (X)$ no es surjective. En consecuencia, (ya que el constante gavilla $\mathbb Z$ sobre el espacio irreductible $X$ es flasque), $$H^1(X, j_!(\mathcal F|_U)) \neq 0.$$
Prueba. Desde $X$ es irreductible, que está conectado, por lo $\mathcal F(X) = \mathbb Z$. Por otro lado, $Z$ es un espacio discreto de dos puntos, por lo $\underline{\operatorname{Sh}}(Z) \cong \underline{\operatorname{Ab}} \times \underline{\operatorname{Ab}}$, dado por $$\mathcal G \mapsto (\mathcal G_x, \mathcal G_y).$$ Usamos ese $\mathcal F|_Z = i^{-1} \mathcal F$ es el sheafification de la presheaf $$V \mapsto \operatorname*{colim}_{W \supseteq i(V)} \mathcal F(W).$$ Desde sheafification no alterar los tallos, $\{x,\eta\}$ es el único mínima conjunto abierto que contiene a $x$, vemos que $$(\mathcal F|_Z)_x = \mathcal F|_Z(\{x\}) = \mathcal F(\{x,\eta\}) = \mathbb Z,$$ y de manera similar a $(\mathcal F|_Z)_y = \mathbb Z$. Así, vemos que $$i_*(\mathcal F|_Z)(X) = \mathcal F|_Z(U) = \mathbb Z \oplus \mathbb Z.$$ Por lo tanto, el mapa de $\mathcal F(X) \to (i_*\mathcal F|_Z)(X)$ nunca puede ser surjective, como $\mathbb Z$ no surject en $\mathbb Z \oplus \mathbb Z$. $\square$
Observación. La prueba de la fuga de más imágenes directas para étale cohomology finita de morfismos se basa en el hecho de que estrictamente Henselian local de los anillos (el local de anillos para el étale topología) no tienen mayor cohomology, y que un número finito de cobertura de una estrictamente Henselian anillo local es de nuevo un producto finito de estrictamente Henselian local de los anillos. Sin embargo, como vimos anteriormente, finito revestimientos de local anillos de la topología de Zariski ¿ tienen una mayor cohomology. Tal vez deberíamos ver esto como un indicio de que la topología de Zariski no tiene un buen local de la teoría de la misma manera que el étale topología.
