Definición de grupo de Grothendieck

Question

Estoy leyendo el artículo de Wiki sobre el grupo de Grothendieck.

¿Cuál es la razón por la que defina $[A] - [B] + [C] = 0 $ en lugar de $[A] + [B] - [C] = 0 $ (o algo más) para cada secuencia exacta $0 \to A \to B \to C \to 0$? ¿Qué es la propiedad que obtenemos si definimos de esta manera? Supongo que tiene algo que ver con exactitud en$B$, pero ¿qué?

Answer 1

Para tener una idea de este tipo de relación, considere la posibilidad de una corta secuencia exacta

$0 \rightarrow V_1 \rightarrow V_2 \rightarrow V_3 \rightarrow 0$

de finito-dimensional espacios vectoriales sobre un campo. ¿Cuál es la relación entre sus dimensiones?