Transformación de Laplace de un producto de funciones de Bessel modificadas

Question

Trabajando con un campo escalar en 2 dimensiones, he llegado a la siguiente integral, a partir de la cual puede extraer el adecuado ultravioleta comportamiento ($a \ll 1$) de la teoría:

$\int_0^\infty e^{-(4+a^2)x}\left[I_0(2x)\right]^2 ds$.

Es obvio para mí que esta es la transformada de Laplace de $\left[I_0(2x)\right]^2$ evaluado en $s = (4+a^2)$. De Wikipedia tengo la fórmula

$\int_0^\infty e^{-sx} f(x)g(x) dx = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty} \int_{c-iT}^{c+it} F(\sigma)G(s-\sigma) d\sigma$,

donde $F(\sigma)$ $G(\sigma)$ son las transformadas de Laplace de $f(x)$$g(x)$, respectivamente.

Me estoy encontrando con algunos problemas tratando de conseguir un resultado analítico para que integral. Lo que realmente necesita es su $a \approx 0$ comportamiento, sino una completa analítica respuesta sería genial.

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Dado que el $I_0(2 x)^2 = 1 + 2 x^2 + \frac{3}{2} x^4 + \frac{5}{9}x^6 + \mathcal{o}(x^6)$ vemos que es una función hipergeométrica: $$I_0(2x)^2 = {}_1F_2\left(\frac{1}{2}; 1,1; 4 x^2\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n}{(1)_n (1)_n} \frac{(4 x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{n}}{n!} \right)^2 \binom{2n}{n}$$ Ahora, integrar plazo-sabio: $$\int_0^\infty \mathrm{e}^{-k x} [ I_0(2x) ]^2 \mathrm{d} x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{n!^4} \int_0^\infty x^{2n} \mathrm{e}^{-k x} \mathrm{d} x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{n!^4} \frac{(2n)!}{k^{2n+1}} = \frac{1}{k} \sum_{n=0}^\infty \left( \binom{2n}{n} \frac{1}{k^n} \right)^2$$ La suma es de nuevo hipergeométrica, ya que la proporción de la posterior sumandos es $\frac{4 (2n+1)^2}{k^2 (n+1)^2} = \frac{16}{k^2} \frac{\left( n+ \frac{1}{2}\right)^2}{(n+1)^2}$, con lo que la suma es igual a: $$\int_0^\infty \mathrm{e}^{-k x} [ I_0(2x) ]^2 \mathrm{d} x = \frac{1}{k} \cdot {}_2F_1\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; \frac{16}{k^2}\right) = \frac{2}{ \pi k} K\left(\frac{16}{k^2}\right)$$ donde $K(m)$ es una integral elíptica completa: $$K(m) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \phi}{\sqrt{1-m \cdot \sin^2(\phi)}}$$

Answer 2

He utilizado Mathematica, debo confesar, pero esta integral se conoce de una forma cerrada $$\int_0^\infty dx e^{-kx}[I_0(2x)]^2=\frac{2}{k\pi}K\left(\frac{16}{k^2}\right).$$ La condición de $k>4$ deben tener. Aquí $K(m)$ es una integral elíptica dada por $$K(m) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-m t^2)}}.$$