Cómputo:

Question

Encontrar el siguiente límite para cualquier número de $p$ natural:

$$\lim{n\to\infty} n^{p+1} \int{0}^{1} e^{-nx} \ln (1+x^p) \space dx $$

Si no me equivoco, sin mucho esfuerzo uno puede ver que esta integral puede ser reescrita como función Gamma y el límite es de $p!$. Soy solo curioso de más maneras que uno puede ir aquí.

Answer 1

El límite es de $\Gamma(p+1)$. A ver, en primer lugar integrar por partes. Tenemos\begin{align} I_n&:=n^{p+1}\int_0^1e^{-nx}\ln(1+x^p)dx\ &=n^{p+1}\left(\left[\frac{-e^{-nx}}n\ln(1+x^p)\right]_0^1-\int_0^1\frac{-e^{-nx}}n\frac{px^{p-1}}{1+x^p}dx\right)\ &=-n^pe^{-n}+pn^p\int_0^1e^{-nx}\frac{x^{p-1}}{1+x^p}dx, \end {Alinee el} así que tenemos que calcular el límite de $J_n:=n^p\int_0^1e^{-nx}\frac{x^{p-1}}{1+x^p}dx$. Utilizamos la sustitución $t=nx$ (luego $dt=ndx$) a\begin{align}J_n&=n^p\int_0^ne^{-t}\frac{t^{p-1}}{n^{p-1}\left(1+\left(\frac tn\right)^p\right)}dt\frac 1n \ &=\int_0^ne^{-t}\frac{t^{p-1}}{1+\left(\frac tn\right)^p}dt. \end {Alinee el} converge esta cantidad $\Gamma(p)$. De hecho, $\int_0^ne^{-t}t^{p-1}dt\to \Gamma(p)$ y \begin{align} \left|J_n-\int_0^ne^{-t}t^{p-1}dt\right|&\leq \int_0^ne^{-t}t^{p-1}\frac{\left(\frac tn\right)^p}{1+\left(\frac tn\right)^p}dt\ &=\int_0^ne^{-t}t^{p-1}\frac{t^p}{n^p+t^p}dt\ &\leq \int_0^{+\infty}e^{-t}t^{p-1}\frac{t^p}{n^p+t^p}dt, \end {alinee el} y concluimos por el teorema de convergencia monótona.

Answer 2

$$\begin{eqnarray} n^{p+1} \int_{0}^{1} dx\, e^{-nx} \ln (1+x^p) &=& n^{p+1} \int_0^n \frac{dz}{n} e^{-z} \log\left(1 + \left(\frac{z}{n}\right)^p \right) \ &=& n^p \int0^n dz\, e^{-z} \sum{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} \left(\frac{z}{n}\right)^{p k} \ &=& \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} \frac{1}{n^{p (k-1)}} \int0^n dz\, e^{-z} z^{p k} \ &=& \sum{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} \frac{1}{n^{p (k-1)}} \gamma(p k + 1,n) \ &=& \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} \frac{1}{n^{p (k-1)}} \left[(p k)! + O\left(e^{-n}n^{p k}\right)\right] \ &=& p! - \frac{(2p)!}{2 n^p} + O(n^{-2p}) \end{eqnarray } $$ anteriormente podemos usar la extensión asintótica para la función gamma incompleta inferior, $$ \begin{eqnarray} \gamma(s,n) &=& \int_0^n dt\, e^{-t} t^{s-1} \ &=& \Gamma(s) - \int_n^\infty dt\, e^{-t} t^{s-1} \ &=& \Gamma(s) - e^{-n}n^{s-1} + O(e^{-n}n^{s-2}) \hspace{5ex} (\textrm{integrate by parts}). \end{eqnarray } $$