Integral que implica $\coth (x)$ : El desacuerdo de Maple y Mathematica

Question

Me plantearon una interesante integral.

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\coth(x)}{x^{3}}-\frac{1}{3x^{2}}-\frac{1}{x^{4}}\right)dx .$$

La integral se evalúa como $\displaystyle\frac{-2}{{\pi}^{2}}\zeta(3)$ (Mathematica lo confirma), pero por alguna razón Maple dice que es divergente (da infinito).

¿Hay alguna manera de evaluar esto utilizando el análisis real? He visto una buena solución de análisis complejo que da como resultado la solución zeta antes mencionada.

Miré la serie Taylor para $\dfrac{\coth(x)}{x^{3}}$ y es :

$$ \frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{3x^{2}}-\frac{1}{45}+\frac{2x^{2}}{945}-\frac{x^{4}}{4725}+\cdots $$

Parece que los dos primeros términos se han restado de ambos lados y han pasado a formar parte del integrando. Sin embargo, al integrar la serie de Taylor, parece divergente.

$$\int\left(\frac{\coth(x)}{x^{3}}-\frac{1}{3x^{2}}-\frac{1}{x^{4}}\right)=-\frac{x}{45} + \frac{2x^{3}}{2035}-\frac{x^{5}}{23625}+\frac{2x^{7}}{654885}+\cdots$$

¿Alguna idea sobre un buen método para evaluar esto? ¿Series? ¿Integrales dobles? etc.

Sólo señalé la serie de Taylor porque me pareció interesante. A menudo, las series de Taylor convergen a un resultado, pero aquí no parece hacerlo. Supongo que estoy pasando por alto algo.

Answer 1

En primer lugar, recuerde que $\coth(x)=i\cot(ix).$ Desde $$\pi\cot(\pi x)=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{x^{2}-n^{2}},$$ tenemos que $$\pi\coth(\pi x)=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{x^{2}+n^{2}}.$$ Reacomodar y dejar $u=\pi x.$ Entonces $$\frac{\coth(u)}{u^{3}}=\frac{1}{u^{4}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{u^{2}\left(u^{2}+n^{2}\pi^{2}\right)}=\frac{1}{u^{4}}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi^{2}n^{2}}\left(\frac{1}{u^{2}}+\frac{-1}{u^{2}+n^{2}\pi^{2}}\right).$$ Dividiendo la suma esto es $$\frac{1}{u^{4}}+\frac{2}{u^{2}\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}-\frac{2}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\left(\frac{1}{u^{2}+n^{2}\pi^{2}}\right)=\frac{1}{u^{4}}+\frac{1}{3u^{2}}-\frac{2}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\left(\frac{1}{u^{2}+n^{2}\pi^{2}}\right).$$ Aquí utilizamos el hecho de que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.$ Esta última serie converge absolutamente, lo que explica por qué al restar la $\frac{1}{u^{4}}$ y $\frac{1}{3u^{2}}$ es tan importante. (la serie de Taylor también nos dice esto) Esto también significa que podemos reorganizar las cosas libremente. Así nuestra integral es $$\int_{-\infty}^{\infty}-\frac{2}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\left(\frac{1}{u^{2}+n^{2}\pi^{2}}\right)du=\frac{-2}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{u^{2}+n^{2}\pi^{2}}du.$$ Sustituyendo $u=n\pi x$ vemos que $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{u^{2}+n^{2}\pi^{2}}du=\frac{1}{n\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}du=\frac{1}{n}$$ donde observamos que $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}dx=\pi$ . Esto nos da la respuesta final de $$\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\coth(u)}{u^{3}}-\frac{1}{3u^{2}}-\frac{1}{u^{4}}\right)du=\frac{-2}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}=\frac{-2\zeta(3)}{\pi^{2}}.$$

Espero que eso ayude,

Observación: Considere $\frac{\coth\left(u\right)}{u^{2m-1}}$ para los enteros $m$ . Dejemos que $$\left[\frac{\coth\left(u\right)}{u^{2m-1}}\right]$$ se refieren a la misma serie, excepto que cortamos los términos de la expansión de Laurent alrededor de cero donde la potencia es negativa. Entonces es posible demostrar una generalización que $$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{\coth\left(u\right)}{u^{2m-1}}\right]=(-1)^{m+1}\frac{2\zeta(2m-1)}{\pi^{2m-2}}.$$ Esto se puede demostrar utilizando las ideas anteriores.

Función zeta: Hay alguna conexión entre su integral y $\zeta^'(-2).$ De forma similar, la integral de $\left[\frac{\cosh(x)}{x^{2m-1}}\right]$ está conectado a $\zeta^'(-2m+2)$ . Tengo algunas ideas, pero no puedo concretarlo exactamente como quiero. En particular, hay que tener en cuenta que $$\zeta^'(-2)=-4\frac{\zeta(3)}{\pi^2}.$$

Answer 2

En Maple 15 me sale:

int(coth(x)/x^3 - 1/3/x^2 - 1/x^4, x = -infinito .. infinito);

$\int _{-\infty }^{\infty }\!{\frac {\coth \left( x \right) }{{x}^{3}}} -1/3\,{x}^{-2}-{x}^{-4}{dx}$

Así que Maple no sabe cómo hacer esto simbólicamente. Inténtalo numéricamente:

evalf(%);

-.2435876565

¿Ahora puede Maple adivinar cuál es ese número?

identificar(%);

$-2\,{\frac {\zeta \left( 3 \right) }{{\pi }^{2}}}$