Demuestra lo siguiente: Si $a \mid bc$ entonces $a \mid \gcd(a, b)c$ .
Traté de establecer $\gcd(a, b)$ a $b$ y utilizó el teorema fundamental de la aritmética para demostrar que es divisible por $a$ pero no puedo probarlo $a \mid bc$ si y sólo si $a\mid b$ y $a\mid c$ . Por favor, ayuda. Gracias.
El primer argumento que damos utiliza el Teorema Fundamental de la Aritmética. En un comentario al final, lo hacemos de otra manera.
Dejemos que $p$ sea un primo que divide a $a$ y que $p^r$ sea la mayor potencia de $p$ que divide $a$ . Dejemos que $p^s$ sea la mayor potencia de $p$ que divide $b$ y que $p^t$ sea la mayor potencia de $p$ que divide $c$ .
Porque $a$ divide $bc$ tenemos $r\le s+t$ .
(i) Supongamos que $s\ge r$ . Entonces $p^r$ divide $\gcd(a,b)$ y por lo tanto $p^r$ divide la expresión de la derecha.
(ii) Supongamos ahora que $s\lt r$ . Entonces $p^s$ divide $\gcd(a,b)$ . En combinación con el $p^t$ que viene de $c$ Esto demuestra que la mayor potencia de $p$ que divide el lado derecho es $p^{s+t}$ . Hemos terminado, ya que $r\le s+t$ .
Observación: Escribimos una prueba que utiliza el TLC, ya que eso es lo que usted mencionó tratar. Sin embargo, podríamos dejar que $d=\gcd(a,b)$ y $a=da'$ , $b=db'$ . Desde $a$ divide $bc$ conseguimos que $a'$ divide $b'c$ . Desde $a'$ y $b'$ son relativamente primera concluimos que $a'$ divide $c$ . Ahora es fácil demostrar que $a$ divide el lado derecho.
Sugerencia $\,\ a\mid ac,bc\,\Rightarrow\,a\mid(ac,bc)=(a,b)c\,$ por el Ley distributiva gcd.
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