Demostrar un Trigonométrica de la Serie

Question

Pregunta:

$$\cot^{2}\frac{\pi }{2m+1}+\cot^{2}\frac{2\pi }{2m+1}+\cdots+\cot^{2}\frac{m\pi }{2m+1}=\frac{m(2m-1)}{3}$$ $m$ es un entero positivo.

Intento:

Comencé mostrando que $$\sin(2m+1)\theta =\binom{2m+1}{1}\cos^{2m}\theta \sin\theta -\binom{2m+1}{3}\cos^{2m-2}\theta \sin^{3}\theta +\cdots+(-1)^{m}\sin^{2m+1}\theta$$ Mediante la expansión de $\left(\text{cis }\theta\right)^{2m+1}$ y, a continuación, la equiparación de la parte imaginaria.

Answer 1

Dividir esta igualdad por $\sin^{2m+1}\theta$ para obtener $$ \frac{\sin(2m+1)\theta}{\sin^{2m+1}\theta}=\sum\limits_{k=0}^m (-1)^k{2m+1 \elegir 2k+1}\cot^{2k} \theta\etiqueta{1} $$ Denotar $$ P_m(x)=\sum\limits_{k=0}^m (-1)^k{2m+1 \elegir 2k+1} x^m $$ Este es el polinomio de grado $m$. De $(1)$ vemos que $P_m$ ha $m$ raíces $x_k=\cot^2\frac{\pi k}{2m+1}$. Por Vietas fórmula que su suma es igual a $$ -\frac{{2m+1 \elegir 3}}{{2m+1 \elegir 1}}=\frac{m(2m-1)}{3} $$ Así, obtenemos $$ \sum\limits_{k=1}^m\cot^2\frac{\pi k}{2m+1}=\frac{(2m-1)m}{3} $$