Encontrar todos los números complejos $z$ tales que (a$z^6 - i) \in \mathbb R$

Question

Encontrar todos los números complejos $z$ tales que (a$z^6 - i) \in \mathbb R$

Mi solución:

Vamos a establecer $x^6 = (z - i)^6$. Entonces $$x^6 = |x| e^{6\theta i} \\ x^6 \in \mathbb R \iff 6\theta = k\pi \de la tierra k\in \mathbb Z$$ $$\theta = \frac{k\pi}{6}$$ Por lo tanto, $z - i = |z - i|(\cos(\frac{k\pi}{6}) + i\sin(\frac{k\pi}{6})) \\$ $$z = |z-i|\left(\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{k\pi}{6}\right)\right)+i$$ Ahora, imagina que me he trazado la solución en términos de $x$. Si quería tener una parcela en términos de $z$, sería suficiente con simplemente cambiar todos los de mi soluciones de una unidad imaginaria hacia arriba, para satisfacer las $+i$ plazo?

Answer 1

Conocido, $w\in \Bbb R$ fib $w=\bar{w}$

A continuación, establezca $z= re^{it}$ $$(z^6 - i)\in\Bbb R\Longleftrightarrow (z^6 - i)= (\bar{z}^6 + i)\\\Longleftrightarrow (z^6 -\bar{z}^6 = 2 i) \Longleftrightarrow Im(z^6) = 1\\ \Longleftrightarrow \color{blue}{r^6\sin (6t) }=Im(r^6 e^{i6t}) = 1 $$

Conclusión $$(z^6 - i)\in\Bbb R \Longleftrightarrow \color{blue}{r^6\sin (6t) = 1}$$ with $z= re^{es}$

Answer 2

Voy a us Doug M. bueno diagrama. Deje $ a \ge 0$. Entonces estamos buscando $$ z^6=a+i $$ Escrito $a+i$ en forma polar, hemos $$ z^6=\sqrt{a^2+1}e^{\theta_a i} $$ donde $\theta_a=arctan(1/a)$. Por lo tanto $$ z=(a^2+1)^{1/12}e^{\theta_a i/6} $$ También debemos considerar todas las raíces primitivas de la unidad. Así $$ z=(a^2+1)^{1/12}e^{\theta_a i/6}e^{k\pi i /3} $$ donde $k \in \{0, 1,..., 5\}$ En particular, cuando se $a=0$ $$ z=e^{\pi i/12}e^{k\pi i /3} $$ También tenemos $$ z^6 = -a+i $$ en cuyo caso $$ z=(a^2+1)^{1/12}e^{-\theta_a i/6}e^{k\pi i /3} $$ donde he utilizado el hecho de que $arctan(1/a)=-arctan(-1/a)$.

Así que hay todo un continuo de tales $z$, parametrizadas por $a \in \mathbb{R}$ $k \in \{0, 1, ..., 5\}$

Answer 3

$z^6 = \cuna \theta + i\\ z^6 = \csc \theta (\cos \theta + \sin\theta)\\ z = (\csc \theta)^{\frac 16} e^{i(\frac {\theta}{6}+\frac {k\pi}{3})}\\$