El anillo de $\mathcal{O}_{\mathcal{E}}$ está equipada con el Gauss norma :
$$\| \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n T^n \| = \max_{n \in \mathbb{Z}}(|a_n|),$$
que es multiplicativa.
Lema 1: El anillo es completa para esta norma.
Prueba: Supongamos $f_s(T) = \sum_{n} a_n^{(s)} T^n$ $s \geq 0$ ser una secuencia tal que $\|f_s(T)\| \xrightarrow{s\to \infty} 0$. Para cada una de las $n \in \mathbb{Z}$ la serie $\sum_{s \geq 0} a_n^{(s)}$ converge a algunos $b_n$. El poder de la serie de $g(T) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_n T^n$ está en el ring por el siguiente motivo : vamos a $\varepsilon >0$, e $S>0$ tal que $|a_n^{(s)}| \leq \varepsilon$ todos los $n \in \mathbb{Z}$$s \geq S$. Elija $N$ tal que $|a_n^{(s)}| \leq \varepsilon$ todos los $s \leq S$$n \leq N$. A continuación, $|b_n| \leq \varepsilon$ todos los $n \leq N$. La serie $\sum_{s\geq 0} f_s(T)$ converge a $g(T)$ lo que demuestra que el anillo es completa.
Lema 2: Si $f(T)= \sum_{n} a_n^{(s)} T^n$ es tal que $\|f(T)\| =1$, $f$ es invertible.
Prueba: Denotar $n_0$ menos entero $n$ tal que $|a_n|=1$. Escribir $f(T)=g(T)+h(T)$ donde$g(T) = \sum_{n < n_0} a_nT^n$$h(T) = \sum_{n \geq n_0} a_nT^n$. A continuación, $\|g(T)\| <1$ $h(T)$ es invertible, y ya que el anillo es completa, es bien sabido que su suma es invertible.
Con el Lema 2 es fácil llegar a la conclusión de que el anillo de $\mathcal{O}_{\mathcal{E}}$ es un DVR con la máxima ideal generado por a $\pi_L$, un uniformizer de $L$, por lo que su cociente de campo es $\mathcal{O}_{\mathcal{E}}[1/\pi_L]$ que es el mismo que $\mathcal{O}_{\mathcal{E}}[1/p]$.
Nota : Jyrki Lahtonen los argumentos de las obras (una vez que han comprobado que la serie geométrica converge) y se generaliza a $L$ reemplazando $p$ por un uniformizer de $L$ $\mathbb{F}_p$ por el residuo campo de $L$.
