¿Cómo puedo calcular este límite

Question

Quiero probar que

$ \lim_ {h \rightarrow\infty } \left ( \int_ {0}^{ \infty } \left ( \cos ht-1 \right ) \underset {t}{ \triangle } \left [ \frac { \phi (t) \exp\left (-itx \right )}{it} \right ]dt \right )=- \int_ {0}^{ \infty } \underset {t}{ \triangle } \left [ \frac { \phi (t) \exp\left (-itx \right )}{it} \right ]dt$

donde $ \underset {t}{ \triangle } \eta (t)= \eta (t)+ \eta (-t)$ y $ \phi $ es una función integrable (en el sentido lebesgue), para ser precisos es la transformación de Fourier de una función de densidad integrable y por lo tanto continua. También $ \phi $ es diferenciable en $0$ .

De acuerdo con los autores de este papel (ver prueba del teorema 3), esto puede lograrse mostrando $ \underset {t}{ \triangle } \left [ \frac { \phi (t) \exp\left (-itx \right )}{it} \right ]$ es integrable y el resultado se derivará del lema de Riemann Lebesgue.

Lo hacen mostrando que $ \underset {t}{ \triangle } \left [ \frac { \phi (t) \exp\left (-itx \right )}{it} \right ]$ está uniformemente delimitada. Y esta es la parte de la prueba en la que estoy atascado. ¿Puede alguien mostrarme cómo probar $ \underset {t}{ \triangle } \left [ \frac { \phi (t) \exp\left (-itx \right )}{it} \right ]$ está uniformemente delimitada e integrable?

Gracias

Answer 1

La prueba del Teorema 3 está discutiendo $ \int_0 ^ \infty exp(-itx) \phi (t) \frac { \cos (ht)-1}{t}\, dt$ . Ese -1 hace una gran diferencia.

Answer 2

Espero no estar malinterpretando la pregunta, pero esto es lo que pienso (¡me disculpo de antemano porque es tarde!)

Escriba $ \eta (t) = \displaystyle\mathop { \Delta }_{t} \left [ \frac { \phi (t) e^{-itx}}{it} \right ] = \frac { \phi (t) e^{-itx} - \phi (-t) e^{itx}}{it}$ .

Entonces..,

$$ \begin {array} \\ \int_0 ^{ \infty } (cos(ht) - 1) \eta (t) dt & = \left.\left ( \frac {1}{h} \sin (ht) - t \right ) \eta (t) \right |_0^{ \infty } + \int_0 ^{ \infty } \left (1 - \frac { \sin (ht)}{ht} \right )t \eta '(t) dt \\ &= \int_0 ^{ \infty } \left ( 1 - \frac { \sin (ht)}{ht} \right ) t \eta '(t) dt \end {array} $$ por partes (lo cual está justificado ya que el autor asume $ \phi $ es diferenciable en el origen). El teorema de la convergencia dominada implica que $$ \lim_ {h \to \infty } \int_0 ^{ \infty } \left ( 1 - \frac { \sin (ht)}{ht} \right ) t \eta '(t) dt = \int_0 ^{ \infty } t \eta '(t) dt. $$ De nuevo, por partes, tenemos $$ \int_0 ^{ \infty } t \eta '(t) dt = \left. t \eta (t) \right |_0^{ \infty } - \int_0 ^{ \infty } \eta (t) dt = - \int_0 ^{ \infty } \eta (t) dt. $$

Ponerlo todo junto da:

$$ \int_0 ^{ \infty } \left ( \cos (ht) - 1 \right ) \eta (t) dt = - \int_0 ^{ \infty } \eta (t) dt. $$