Demostrar por inducción que $\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$

Question

Nota: estoy haciendo esta pregunta como una simple pregunta introductoria para las pruebas por inducción, a la que voy a dar también mi respuesta formal (que debe ser la correcta, si no, por favor comente) para los futuros visitantes de este sitio web.

Sé que para demostrar algo por inducción, necesitamos formalmente en 3 pasos (2, si se nos considere inductivo hipótesis inductivas y paso juntos):

1. Caso Base o de la base:

   Determinamos lo que es el caso base para nuestra instrucción $P(n)$, y de inmediato nos lo demuestran.

2. Inductivo hipótesis:

   Asumimos nuestra declaración de $P(n)$ es cierto para $n$.

3. Inductivo paso:

   Tratamos de demostrar que nuestra afirmación también es cierto para $P(n + 1)$. Si podemos demostrar que, también podemos demostrar que nuestra afirmación es verdadera para $n + 2$ (no necesitamos para hacerlo), y así sucesivamente.

   Este paso suele ser la parte más difícil, porque implica cierta manipulación algebraica, o un poco de imaginación, de alguna manera. Por esta última razón, puede ser útil ver otros similares pruebas por inducción para resolver la actual.

Por ejemplo, supongamos que nuestro $P(n)$ es la siguiente:

$$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$$

que es, básicamente, diciendo que la suma de todos los cuadrados de los números naturales a partir de $0$ $n$puede ser determinada por la fórmula en el lado izquierdo de la ecuación.

¿Cómo podemos demostrar $P(n)$ es cierto para todos los $n \in \mathbb{N}$?

Para obtener más información acerca de la prueba por inducción, consulte la Wikipedia página acerca de la inducción de la llamada inducción Matemática.

Answer 1

Como cualquier prueba por inducción, tenemos que ir a través de todos los 3 pasos citados anteriormente para nuestro ejemplo:

1. Base:

   Teniendo en cuenta que el primer número natural es $1$, en nuestro caso base es $n = 1$, porque queremos demostrar a $P(n)$ para todos los números naturales (Que tampoco tiene mucho sentido hacer la suma de $0$ de los miembros de la secuencia).

   Lo que tenemos que hacer es simplemente la sustitución de $n$ $1$s en nuestra fórmula, y comprobar si el resultado es igual a la suma de los cuadrados de los números hasta $1$ ($0^2 + 1^2 = 1$). Por lo tanto tenemos:

   $$\frac{1(1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = 0^2 + 1^2 = 1$$

   simplificando el lado izquierdo de la expresión, tenemos:

   $$\frac{(2)(3)}{6} = 0^2 + 1^2 = 1$$

   lo que es claramente una declaración verdadera.

2. Inductivo hipótesis:

   Aquí, asumimos $P(n)$ es cierto para $n$, por lo que asumimos que el $$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$$ es cierto.

3. Inductivo paso:

   Ahora, tenemos que demostrar $P(n + 1)$ también es cierto. Por lo general técnica es la sustitución de $n$ $n + 1$ nuestras declaraciones, por lo tanto tenemos:

$$\frac{(n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)}{6} = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 + (n + 1)^2$$

Tenga en cuenta que también he añadido un nuevo plazo para la secuencia correcta de $n + 1$, ya que nuestra fórmula determina en la suma de todos los cuadrados de$0$$n + 1$.

Ahora, usted podría pensar, ¿cómo podemos resolver esto? En este punto, puede ser útil el uso de algo que se supone, por ejemplo, $P(n)$ para nuestro ejemplo. De hecho, usted sabe que $$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$$

Podemos ver algo que podría ser sustituido en nuestra $P(n + 1)$ con algo de nuestra $P(n)$? Sí, podríamos sustituir la secuencia: $$0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$$ with the corresponding formula: $$\frac{(n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)}{6} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n + 1)^2$$

Si resuelve que la declaración anterior, se llega a una declaración verdadera, algo como $1 = 1$, lo que confirma que nuestra declaración es también cierto para $n + 1$, y que confirma, por inducción, que $P(n)$ es válida para todas las $n \in \mathbb{N}$.