Encontrar los coeficientes en el polinomio dado tres tangentes

Question

Estoy atascado con un problema que no puedo resolver.

Tengo que encontrar los coeficientes de un polinomio cuadrático dado tres tangentes. El problema se expresa de la siguiente manera:

Las tres líneas se describe por las ecuaciones

$y_1(x)=-4x-16.5$

$y_2(x)=2x-4.5$

$y_3(x)=6x-16.5$

todos son tangentes a un polinomio cuadrático $p(x)=ax^2+bx+c$

Determinar los valores de los coeficientes a, b y c.

Simplemente no puedo resolver este problema, he sido por un largo tiempo. Cualquier ayuda es muy apreciada :)

Edit: estoy incluyendo la forma en que me trató de resolverlo. Yo no llegar super lejos.

Dado el polinomio $p(x)$ sé que $p'(x)=2ax+b$

Por lo tanto, el siguiente es cierto para los tres puntos con valores de x de $x_1, x_2$$x_3$, donde las líneas de $y_1, y_2$ $y_3$ son tangentes a la parábola:

$-4=2ax_1+b$

$2=2ax_2+b$

$6=2ax_3+b$

Eso es todo lo que he logrado hacer. También he encontrado los puntos donde las tres líneas que se intersecan (bueno, tres puntos de dos de las líneas se cruzan), pero no puedo pensar en cómo el uso que de la nada.

Answer 1

Si tenemos una parábola $$y = a x^2 + b x + c$$ and a line $$y = mx + d,$$ ellos son tangentes si $$b^2 - 4ac = -4da + 2mb - m^2$$ como la continuación de la parábola $$y = a x^2 + (b-m) x + (c -d)$$ has a double root, i.e. is a constant times a square, $$a (x+p)^2$$ Así se podría escribir esto: me fijo $$\Delta = b^2 - 4 a c$$ y luego había tres ecuaciones $$-4da + 2mb = m^2 + \Delta$$ conectando los valores de las tres líneas de $y = mx + d.$ me lo esperaba más grande de los problemas, pero sólo tomando las diferencias de dos de las ecuaciones cancela el desconocido adicional $\Delta,$ alowing nosotros para encontrar la $a,b$ rápidamente. De que, por fin, llegamos a un valor de $\Delta,$ después de que tenemos una ecuación para $c$

$$66a - 8 b = 16 + \Delta \; ,$$ $$66a + 12 b = 36 + \Delta \; ,$$ $$18a + 4 b = 4 + \Delta \; .$$ La segunda menos la primera da $b.$ Plug en el $b$ valor, a continuación, reste la segunda menos la tercera, que da $a.$ Plug tanto en cualquiera de los tres para encontrar $\Delta.$ Finalmente, $c = \frac{b^2 - \Delta}{4a}$

Answer 2

Tenga en cuenta que si una línea y una ecuación cuadrática son tangentes $mx+d=ax^2+bx+c$, entonces la siguiente ecuación cuadrática se tiene discriminante cero $$\begin{eqnarray*} ax^2+(b-m)x+c-d=0. \end{eqnarray*}$$ Esto conducirá a $3$ ecuaciones para $a,b,c$ que son fáciles de resolver dando

$(a,b,c)=(1/2,1,-4)$.

Answer 3

Dados cualesquiera dos tangentes a una parábola de la forma $y = f(x) = ax^2 + bx + c,$ $x$- coordenadas de la intersección de la tangente a las líneas de estar a mitad de camino entre el $x$-las coordenadas de los puntos tangentes.

Trabajando en los puntos de intersección de las tres líneas, podemos ver que la intersección de a $y = y_1(x)$ $y = y_2(x)$ se produce en $x = -2$ y la intersección de $y = y_2(x)$ $y = y_3(x)$ se produce en $x = 3.$ Vamos

• $x = x_1$ en el punto de tangencia con $y = y_1(x)$;
• $x = x_2$ el punto de tangencia con $y = y_2(x)$; y
• $x = x_3$ el punto de tangencia con $y = y_3(x).$

Debido a la $y$-coordenadas y las pendientes en los puntos de intersección, es claro que $x_1 < -2 < x_2 < 3 < x_3$; por otra parte, $-2$ está a mitad de camino entre el $x_1$ $x_2$ $3$ está a mitad de camino entre el $x_2$ $x_3.$ De ello se sigue que $$x_3 - x_1 = 2\left(\frac{x_3 + x_2}2 - \frac{x_2 + x_1}2\right) = 2(3 - (-2)) = 10.$$

La condición de tangencia implica que $f'(x_1) = y_1'(x) = -4$ y $f'(x_3) = y_3'(x) = 6.$ Pero $f'(x) = 2ax + b,$ por lo $20a = 2a(x_3 - x_1) = f'(x_3) - f'(x_1) = 10,$ y, por tanto, $a = \frac12.$ Después, es relativamente sencillo ejercicio para encontrar los otros dos coeficientes.