Evaluar $\int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1}x}{x}dx$ utilizando la diferenciación bajo el signo integral

Question

Evaluar $$I=\int_{1/2014}^{2014} \dfrac{\tan^{-1}x}{x}\mathrm dx$$

$$$$ He intentado resolver esta integral utilizando la diferenciación bajo el signo integral. Así, redefiní la integral como $$I(a)=\int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1}(ax)}{x}\mathrm dx$$$$\Rightarrow I'(a)= \int_{1/2014}^{2014} \frac{1}{1+a^2x^2}\mathrm dx=\left(\dfrac{\tan^{-1}(ax)}{a}\right)_{1/2014}^{2014}$$

Sé que hay otros métodos para resolver esta integral. Sin embargo, en aras de la práctica, estoy específicamente interesado en una solución que implica la diferenciación bajo el signo integral.

Answer 1

Esto es demasiado largo para un comentario; sin embargo, esto podría arrojar algo de luz sobre por qué la diferenciación bajo el signo de la integral conduce de nuevo a la misma integral: $$ \begin{align} &\int_0^1\left(\color{#C00}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\int_{1/2014}^{2014}\frac{\tan^{-1}(ax)}x\,\mathrm{d}x}\right)\mathrm{d}a\tag1\\ &=\int_0^1\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\int_{a/2014}^{2014a}\frac{\tan^{-1}(x)}x\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}a\tag2\\ &=\int_0^1\left(\color{#C00}{\frac{\tan^{-1}(2014a)}a-\frac{\tan^{-1}\left(\frac{a}{2014}\right)}a}\right)\mathrm{d}a\tag3\\ &=\int_0^{2014}\frac{\tan^{-1}(a)}a\,\mathrm{d}a-\int_0^{1/2014}\frac{\tan^{-1}(a)}a\,\mathrm{d}a\tag4\\ &=\int_{1/2014}^{2014}\frac{\tan^{-1}(a)}a\,\mathrm{d}a\tag5 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ la integral para $a=0$ es $0$
$(2)$ : sustituto $x\mapsto x/a$
$(3)$ : Teorema fundamental del cálculo
$(4)$ : sustituto $a\mapsto a/2014$ a la izquierda y $a\mapsto2014a$ a la derecha
$(5)$ : restar las integrales

No importa cómo lo cortes, las expresiones rojas son las mismas, y te encontrarás con la integral original.

Answer 2

Tenga en cuenta que \begin{eqnarray*} \tan^{-1}(x)+\tan^{-1}(1/x)=\frac{\pi}{2}. \end{eqnarray*} y \begin{eqnarray*} I= \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1}(x)}{x} dx =\frac{\pi}{2} \int_{1/2014}^{2014} \frac{dx}{x} + \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1}(1/x)}{1/x} \frac{-dx}{x^2}. \end{eqnarray*} Ahora sustituye $u=1/x$ en esta última integral para obtener $-I$ . ... debería ser un juego de niños desde aquí...

Answer 3

Así, $$I' (a) =\int_{2014^{-1}}^{2014} \frac{1}{1+a^2 x^2 } dx =a^{-1}\int_{2014^{-1}a}^{2014 a}\frac{1}{1+t^2 } dt=a^{-1}\arctan t|_{2014^{-1}a}^{2014 a}$$