Yo estoy haciendo el siguiente problema:
Considere el siguiente sistema de modelización de la interacción entre dos especies:
$$\begin{cases}\dot{x}=x(ax^n+by^n+c) \\ \dot{y}=y(dx^n+ey^n+f) \end{cases}$$
con $(a,b,c,d,e,f)\in\mathbb{R^6}$, $n\in\mathbb{N}$. Para encontrar una relación $\phi(a,b,c,d,e,f,n)$ tal forma que:
$i)$ Si $\phi(a,b,c,d,e,f,n)\neq 0$, entonces el sistema no tiene ningún periódico de las órbitas. Indicación: Demostrar que se puede reducir el problema al primer cuadrante, y, a continuación, utilizar la siguiente Dulac función: $D(x,y)=x^\alpha y^\beta$, debidamente $\alpha$$\beta$.
He demostrado que se puede reducir el problema al primer cuadrante por ver que $x=0$ $y=0$ son órbitas del sistema, por la unicidad de las soluciones, no podemos tener una órbita periódica que los atraviesan.
Además, podemos cambiar las variables para reducir al primer cuadrante.
Ahora tenemos que usar el Bendixon-Dulac Teorema, con $B(x,y)$ la función que nos dio. Ahora la principal cosa que no sé cómo hacer es obtener la relación $\phi(a,b,c,d,e,f,n)$. No sé cómo llegar allí.
He encontrado la divergencia de la Bendixon Dulac teorema, pero hay un montón de términos y es algo muy confuso. Qué nos tiene que ser igual a cero para encontrar los términos de $\alpha$$\beta$?
