Solución: $\frac{\mathrm{d}x}{y-z} = \frac{\mathrm{d}y}{z-x} = \frac{\mathrm{d}z}{x-y}$ $\mathbf{V} = (y-z,z-x,x-y)$

Question

No puedo parecer cómo proceder con la búsqueda de dos de las curvas $u_1$ y $u_2$ resolviendo el problema integral $$\frac{\mathrm{d}x}{y-z} = \frac{\mathrm{d}y}{z-x} = \frac{\mathrm{d}z}{x-y}$ $ sobre el vector campo $\mathbf{V} = (y-z,z-x,x-y)$. Esta es una parte de la prueba de que una superficie integral está contenida dentro de $\mathbf{V}$. Realmente le agradeceria cualquier ayuda prestada. También Wolfram Alpha no dar una solución para el problema: $$(y-z)u_x + (z-x)u_y + (x-y)u_z = 0$ $

Answer 1

$$\frac{\mathrm{d}x}{y-z} = \frac{\mathrm{d}y}{z-x} = \frac{\mathrm{d}z}{x-y}$$ $$\frac{\mathrm{d}x}{y-z} = \frac{\mathrm{d}y+dz}{z-y}$$ Usted deducir que $$x+y+z=C$$ Se puede utilizar para integrar otra ecuación...

Editar

$$\frac{\mathrm{d}x}{y-z} = \frac{\mathrm{d}y}{z-x} $$ Pero usted sabe que $$z=C-x-y$$ $$\frac{\mathrm{d}x}{-C+x+2y} = \frac{\mathrm{d}y}{C-2x-y} $$ $$({-C+x+2y})dy = dx({C-2x-y} )$$ tenga en cuenta que$d(xy)=xdy+ydx$, por lo que $$({-C+2y})dy+dxy = ({C-2x} )dx$$ Y tenga en cuenta que $2xdx=dx^2$

$$-Cd(x+y)+dxy+dy^2 +dx^2=0$$

Eso es fácil de ntegrate....