¿Cómo obtendría la raíz cuadrada de este multinomio?

Question

Estaba haciendo algunos problemas de un libro que encontré sobre cómo encontrar la raíz cuadrada de una expresión polinómica. Me encontré con este problema:

$$\frac{a^4}{64}+\frac{a^3}{8}-a+1$$

Utilicé el método descrito aquí, y obtuve el siguiente resultado

$$\frac{a^4}{64}+\frac{a^3}{8}-a+1)\frac{a^2}{8} + \frac{a}{2}$$ $$\frac{a^2}{4} + \frac{a}{2} )\frac{a^3}{8} - a + 1$$ $$\frac{a^2}{4} + a + 1) -\frac{a^2}{4} - a + 1$$ $$\frac{a^2}{4} + a + 1 ) -2$$

Sé que no lo he formateado bien, pero, básicamente, cuando utilicé el método que sugirieron, tuve un resto al final. No sé si hice algo mal o si el polinomio es un cuadrado perfecto.

Answer 1

Podemos empezar poco a poco e ir mejorando un poco a la vez. Podemos comenzar con $\frac{a^2}{8}$ que sí da el término superior cuando se eleva al cuadrado. Luego, $$ \left( \frac{a^2}{8} + Ba \right)^2 = \frac{a^4}{64} + B \frac{a^3}{4} + B^2 a^2. $$ Para obtener $a^3/8$ tomamos $B = 1/2.$ Hasta ahora, tenemos $$ \left( \frac{a^2}{8} + \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{a^4}{64} + \frac{a^3}{8} + \frac{a^2}{4}. $$ Nada mal. Luego, $$ \left( \frac{a^2}{8} + \frac{a}{2} +C\right)^2 = \frac{a^4}{64} + \frac{a^3}{8} + \frac{a^2}{4} + C\frac{a^2}{4} + C a + C^2. $$ Para eliminar el término $a^2$, solo necesitamos tomar $C = -1$ y obtener $$ \left( \frac{a^2}{8} + \frac{a}{2} -1\right)^2 = \frac{a^4}{64} + \frac{a^3}{8} - a + 1. $$

Answer 2

La forma sistemática de abordarlo, dado que se sabe que hay dos raíces dobles, sería encontrar los factores comunes entre el polinomio y su derivada usando la división polinómica euclidiana, lo que da como resultado el cuadrático $\,\gcd(a^4 + 8 a^3 -64 a + 64, 4 a^3 + 24 a^2 - 64) = a^2 + 4 a - 8\,$.

Answer 3

Estás preguntando si $\frac1{64}X^4 +\frac18X^3-X+1$ es un cuadrado.

Creo que se ve más familiar cuando multiplicamos por el entero cuadrado $64$ y obtenemos $X^4+8X^3 -64X+64$. Si esto es un cuadrado, será el cuadrado de un polinomio cuadrático mónico $X^2+\cdots$, y nuevamente si es un cuadrado, el siguiente término en el cuadrático tendrá que ser $4X$. Esperando aún que sea un cuadrado, intentamos decidir sobre el término constante: debe ser $8$ o $-8.

Ahora el término constante $8$ no funcionará, da todos los coeficientes positivos. Entonces intentemos $(X^2+4X-8)^2$, ¡y he aquí, se expande a tu polinomio! (Así que quieres $\frac18$ veces mi cuadrático)

Answer 4

En el último paso debe ser: $\frac{a^2}{4} + a \color{red}{-} 1 ) \color{red}{0}$.

Ver la solución en el formato referenciado:

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