Decir "rojo" con las cartas

Question

Suponga que tiene un juego de cartas, con 26 negras y 26 rojas. Revelas una carta cada vez, y antes de que se revele cada carta puedes decir "rojo" (sólo tienes una oportunidad) Si es rojo, ganas, si no, pierdes. ¿Cuál es la estrategia para maximizar la posibilidad de ganar?

Algunas estrategias simples (no sé si alguna de ellas funciona):

• primera tarjeta $(50\%)$
• cuando queden más tarjetas rojas (puede que no ocurra)
• después de que 25 tarjetas rojas se hayan ido

Answer 1

No importa lo que hagas. Puede haber una forma más sencilla de ver esto, pero la forma directa es por inducción en el tamaño de la cubierta.

Afirmo que su probabilidad de ganar con $n$ rojo y $m$ tarjetas negras es siempre $p_{n,m}=\frac{n}{n+m}$ . Esto es ciertamente cierto cuando $n+m=1$ donde estás obligado a decir "rojo" inmediatamente.

Para las cubiertas de mayor tamaño, hay dos estrategias posibles. Si dice "rojo" inmediatamente, ganará con probabilidad $\frac{n}{n+m}$ . Alternativamente, puedes esperar una ronda, y luego jugar desde la posición resultante. En este caso, ganará con probabilidad $$ \frac{n}{n+m}p_{n-1,m}+\frac{m}{n+m}p_{n,m-1} $$

Pero por la hipótesis de inducción, esto es igual a $$ \frac{n}{n+m}\frac{n-1}{n+m-1}+\frac{m}{n+m}\frac{n}{n+m-1}=\frac{n(n-1+m)}{(n+m)(n+m-1)}=\frac{n}{n+m} $$

Así que, de hecho, en cualquiera de los dos casos ganarás con probabilidad $\frac{n}{n+m}$ .

Answer 2

Lo que tenemos que hacer es definir los tiempos de golpeo.

Un tiempo de golpeo es un par $(i,j)$ en el que debemos gritar rojo cuando hay $i$ rojo y $j$ negro restante.

Para determinar los tiempos de golpeo de forma eficiente podemos hacerlo de forma recursiva.

Para ello también calculamos $f(i,j)$ recursivamente donde $f(i,j)$ es la probabilidad de que ganemos cuando hay $i$ rojo y $j$ bolas negras si seguimos la estrategia a la perfección.

Entonces podemos calcular $f(i,j)$ como $\max( \frac{i}{i+j}, \frac{i}{i+j}f(i-1,j) + \frac{j}{i+j}f(i,j-1)$

El valor $(i,j)$ es un tiempo de golpeo precisamente cuando el número de la izquierda es mayor.

Uno tiene claramente los valores $f(0,j)=0$ y $f(i,0)=1$ para que sea positivo $i$ y $j$ .

Así que sólo tenemos que ejecutar esa recursión en el $27^2$ valores y ver lo que aparece (estoy haciendo esto ahora)

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Es bastante fácil demostrar que $f(i,j)=\frac{i}{i+j}$ por inducción en $i+j$

Esto es simplemente porque $\frac{i}{i+j}(\frac{i-1}{i+j-1}) + \frac{j}{i+j}(\frac{i}{i+j-1})= \frac{i^2 -i}{(i+j)(i+j-1)}+\frac{ij}{(i+j)(i+j-1)}=\frac{i(i+j-1)}{(i+j)(i+j-1)}=\frac{i}{i+j}$

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Así que sorprendentemente no importa lo que hagas, la probabilidad de que la última bola salga negra es $\frac{i}{i+j}$ También

Answer 3

No me sorprende que el 50/50 sea lo mejor (y lo peor) que se puede hacer. Una forma de empezar a ver esto es simplemente pensar para ti mismo: ¿sería capaz de ganar dinero jugando a este juego si obtuviera un dólar cada vez que ganara y perdiera un dólar cuando no ganara? Creo que tu reacción instintiva sería que no podrías, principalmente debido a la simetría de la situación.

Podemos ir más allá. Imagina que dos jugadores $R$ y $B$ . Digamos que $B$ juega la estrategia de la imagen del espejo de lo que $R$ hace. Es decir, si $R$ La estrategia de la empresa es "esperar hasta que veas cinco cartas negras, y luego decir 'Rojo'", $B$ La estrategia de la empresa es "esperar hasta que veas cinco tarjetas rojas, y luego decir 'Negro'". ¿Por qué debería apostar? Debe quedar claro que si alguna estrategia es buena para $R$ entonces la estrategia del espejo es igual de buena para $B$ . Así, independientemente de la estrategia, la probabilidad de que $R$ gana debe ser igual a la probabilidad de que $B$ gana.

El párrafo anterior sólo pone el problema en una forma en la que se puede aplicar (más obviamente) el Principio de Indiferencia. Como el Principio de Indiferencia se utiliza a menudo de forma incorrecta, aquí se describe lo que ocurre de forma mucho más formal. Sea $P(\varphi\mid I)$ sea la probabilidad de que la proposición $\varphi$ mantiene dado $I$ es cierto. En este caso, $I$ representa la información de fondo que tenemos, por ejemplo, las reglas del juego, la configuración del problema y cualquier otra información relevante. Sea $\psi[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}]$ sea la fórmula $\psi$ donde todas las apariciones de "Rojo" se sustituyen por "Negro" y viceversa, de forma similar para los términos. Trivialmente tenemos $$P(\varphi[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}]\mid I[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}])=P(\varphi\mid I)$$ que es el hecho de que las probabilidades no cambian sólo porque usamos diferentes palabras para las cosas. Para aplicar el Principio de Indiferencia, tenemos que demostrar que $I$ es lógicamente equivalente a $I[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}]$ . Si eso es cierto, entonces $$P(\varphi\mid I)=P(\varphi\mid I[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}])$$ de lo que se deduce que $$P(\varphi[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}]\mid I)=P(\varphi\mid I)$$ En este caso, si $\varphi$ es la proposición "la estrategia elegida $S$ dice correctamente 'Rojo'", entonces $\varphi[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}]$ es la proposición "la estrategia elegida $S[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}]$ dice correctamente 'Negro'". En este caso, $S[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}]$ es exactamente lo que quería decir con "la estrategia del espejo".

Tenemos que mostrar $I\equiv I[\text{Red}\leftrightarrow\text{Black}]$ . El principal hecho relevante es $$(26\text{ cards are Red}\land 26\text{ cards are Black})$$ Si intercambiamos "Rojo" y "Negro" obtenemos $$(26\text{ cards are Black}\land 26\text{ cards are Red})$$ que es claramente equivalente desde el punto de vista lógico. Por supuesto, si el enunciado hubiera sido $$(40\text{ cards are Red}\land 12\text{ cards are Black})$$ intercambiar "Rojo" y "Negro" sería no producir un enunciado lógicamente equivalente y, por tanto, no podríamos aplicar el Principio de Indiferencia.