Si $f$ es una función tal que para cada $\theta$, $|f(re^{i\theta})|\rightarrow \infty$ como $r\rightarrow \infty$

Question

Deje $f: \mathbb{C}\mapsto \mathbb{C}$ ser toda una función tal que para cada $\theta$, $|f(re^{i\theta})|\rightarrow \infty$ como $r\rightarrow \infty$.
a) ¿esto implica que $|f(z)|\rightarrow \infty$$|z|\rightarrow\infty$?
b) ¿esto implica que $f(z)$ es un polinomio?

Yo sé que si a) es verdadera, entonces el $b)$ es cierto ya que a) implica que $\infty$ es un polo de $f(z)$ que es equivalente a $f(z)$ es un polinomio.
Sin embargo, no sé cómo demostrar que a) es verdadera o construir un contra ejemplo.

Editado 5/11:
También estoy considerando estrechamente relacionadas con la pregunta: Deje $f: \mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}$ ser una función continua. Supongamos que para todos los $k\in \mathbb{R}$,$|f(x,kx)|\rightarrow \infty$$x\rightarrow \infty$.
a) ¿esto implica que $|f(x,y)|\rightarrow \infty$ $|(x,y)|\rightarrow\infty$
b) Si se requieren $f$ a ser diferenciable, ¿esto implica que $|f(x,y)|\rightarrow \infty$ $|(x,y)|\rightarrow\infty$

Answer 1

Aquí es un simple ejemplo de una trascendental función $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $f(r e^{i \theta}) \underset{r \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \infty$ por cada $\theta \in \mathbb{R}$.

Considerar la totalidad de la función de $f : z \mapsto e^{z} +e^{-z} +z^{2}$.

Es obvio que $f$ no es polinomio de uno puede escribir su poder de expansión de la serie o comprobar que ninguno de sus derivados es idéntica a cero.

Además, uno puede comprobar que para todos los $\theta \in \mathbb{R}$, $f(r e^{i \theta}) \underset{r \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \infty$.
De hecho, vamos a $\theta \in \mathbb{R}$.
Observe que puesto que para todos los $z \in \mathbb{C}$, $f(z) = f(-z)$, podemos suponer que $\theta \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$.

• Si $\theta \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$, $$\left|f(r e^{i \theta})\right| \geq e^{r \cos(\theta)} - e^{-r \cos(\theta)} -r^{2} \underset{r \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty$$

• Si $\theta = \frac{\pi}{2}$, $$\left|f(r e^{i \theta})\right| = |f(i r)| = \left|2 \cos(r) -r^{2}\right| \geq r^{2} -2 \underset{r \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty$$

Answer 2

Tienes razón acerca de (a) implica (b). Si podemos mostrar que (b) es falsa, entonces podemos demostrar que (a) también es falsa.

En efecto, (b) es falsa.

Considerar la misma función $H(z)$ en el enlace: Radial Límites de Holomorphic Funciones

$$ H(z)=\int_0^{\infty} t^{-t} e^{z} dt, $$ $$F(z)=H(z+i\pi)H(iz+i\pi).$$ A continuación, $F(z)\rightarrow 0$ $z\rightarrow \infty$ a lo largo de cada línea a través de $0$.

Ahora, vamos a $f(z)=F(z)+1$, $f(z)\rightarrow 1$ $z\rightarrow \infty$ a lo largo de cada línea a través de $0$. Consideramos $$ G(z)=\int_0^z f(w)dw. $$ La función de $G$ está bien definido desde $f$ es completo e integral es el camino independiente y, a continuación, $G$ es también toda la con $G'=f$.

Deje $z\rightarrow\infty$ a lo largo de una línea a través de $0$. Tomamos el camino de la integral a ser también una línea a través de$0$,$0$$z$. Entonces, podemos ver que $G(z)\rightarrow\infty$ $z\rightarrow\infty$ a lo largo de cada línea a través de $0$.

Para aclarar esto, vamos a $L_{\theta}(a,b)$ ser el segmento de la línea de $a$ $b$sobre la línea de $L_{\theta}=\{re^{i\theta}|r\geq 0\}$. Entonces tenemos $$ f(w)\rightarrow 1 \ \textrm{como} \ \ w\ \ rightarrow\infty \ \textrm{a lo largo de} \ \ L_{\theta}. $$ $$ \int_{L_{\theta}(0,z)} f(w)dw = z +o(|z|) \ \textrm{como} \ \ z\rightarrow\infty \ \textrm{a lo largo de} \ \ L_{\theta}. $$ Sin embargo, $G$ no es un polinomio desde $f$ no es un polinomio.

Por este argumento con la repetición constante de la multiplicación y de la integración, hay que tener:

Deje $P(z)$ ser un polinomio no constante. Entonces hay toda una función de $G_P(z)$ que no es un polinomio tal que $$ \frac{G_P(z)}{P(z)} \rightarrow 1 \ \textrm{como} \ \ z\rightarrow\infty \ \textrm{a lo largo de cada una de las} \ \ L_{\theta}. $$