La construcción armónica de la función

Question

Supongamos $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es un suave, positivo, delimitada de la función en $\mathbb{R}$. La construcción de un valor real función continua $u$ $\overline{\mathbb{H}}$ que son armónicas en $\mathbb{H}$, de tal manera que $u|_{\mathbb{R}} = f$ $u(i) = 0$ donde$\mathbb{H}$$\{z : Im(z) > 0\}$ }

No sé cómo construir, y también me siento confundido: Supongamos $u$ existe, entonces consideramos que la función $u\circ h$ donde $h=\frac{i(w+1)}{1-w}$. Por lo $u\circ h$ se define en $D$ con valor positivo en $\partial D$, e $u\circ h(0)=u(i)=0$, luego por medio del valor de la propiedad, se deduce una contradicción.

Answer 1

Este es un Schwarz problema.

Como usted ha mencionado, en primer lugar, encontrar un holomorphic función de $g$$\mathbb{H}$, de tal manera que $\Re\left(g\right)$, cuando restringida en $\mathbb{R}$, es idéntica a la de $f$. Esto se puede hacer por $$ g(z)=\frac{1}{\pi i}\int_{\mathbb{R}}\frac{f(x)}{x-z}{\rm d}x. $$ Si $f$ es meramente delimitada pero no integrable, usted puede usar $$ g(z)=\frac{1}{\pi i}\int_{\mathbb{R}}\frac{f(x)\left(z-z_0\right)}{\left(x-z\right)\left(x-z_0\right)}{\rm d}x $$ en su lugar, donde $z_0\in\mathbb{H}$ podría ser elegido de forma arbitraria.

Hasta ahora, esta $g$ rendimientos que $\Re\left(g\right)$ está delimitado en $\mathbb{H}$, lo que satisface la media del valor de la propiedad.

En segundo lugar, considere la posibilidad de $$ h(z)=g(z)+iKz, $$ donde $K\in\mathbb{R}$ será determinado por la restricción $\Re\left(h\right)(i)=0$. Esta $\Re\left(h\right)$ será la función que usted está buscando.