La convergencia de un azar creó la serie

Question

Sabemos que:

1. $\sum \limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty$
2. $\sum \limits _{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} < \infty$

Ambos son fáciles de ver. En el primer caso se puede utilizar el criterio basado en la integración de la función de $f(x) = \frac{1}{x}$, y la convergencia de la segunda serie se puede resolver con la del criterio de Dirichlet.
Imaginemos una serie al azar: $$\sum \limits _{n=1}^{\infty}\frac{\lambda_n}{n},$$ donde $\lambda = 1$ o $\lambda = -1$.
$P(\lambda = 1) = P(\lambda = -1) = \frac{1}{2}$.
Cuando la serie se reunirán?

Answer 1

Si las variables aleatorias $\lambda_n$ son independientes y toman los valores de $1$ $-1$ con una probabilidad de $1/2$ cada uno, a continuación, $\sum \lambda_na_n$ converge casi seguramente si y sólo si $\sum a_n^{2}$ es finito. En particular, esto es para $a_n=1/n$. Sin embargo, la serie no converge casi seguramente si la independencia se ha caído: si todos los $\lambda_n$ son iguales, entonces la serie diverge casi seguramente.