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¿El infinito anidada logaritmo ln(2ln(3ln(4ln(5ln(6...))))) convergen?

Yo estaba jugando con el anidada radicales y decidí ver si anidada ecuaciones de los logaritmos convergerían.

Parece converger a un valor en torno a 1.368, y a una profundidad de 20 tiene un valor de 1.3679012..., sin embargo no estoy seguro de cómo probar si realmente hace converger.

12voto

Connor Harris Puntos 132

Yo reclamo que ln(2ln(3ln(ln(n))))<2. Para ver esto, exponentiate en ambos lados para obtener un equivalente a la desigualdad ln(3ln(4ln(ln(n))))<e22. The RHS is greater than 3, so \texto(1) is implied by ln(3ln(4ln(ln(n))))<3. Exponentiate de nuevo para ver que (2) es equivalente a ln(4ln(5ln(ln(n))))<e33, que, como e3/3>4, es a su vez implica por ln(4ln(5ln(ln(n))))<4, y podemos continuar este proceso de debilitamiento de la desigualdad original, consiguiendo una cadena de implicaciones (1)(2)(3), hasta que, finalmente, conseguir que el conjunto de la cadena es implícita por lnn<n, claramente cierto. El debilitamiento pasos dependen de la desigualdad enn>n+1 holding for integers n2, but this is easy to prove; by Taylor series, for positive n, enn2n>1n2+n36=(n612)n2+1, which is manifestly positive for n3 and can be checked manually for n=2.

Como el lado izquierdo de (1) claramente aumenta con la n, y limita la monotonía de las secuencias son convergentes, el infinito, la expresión de ln(2ln(3ln(4ln()))) converge y es en la mayoría de las 2.

8voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Para nm, vamos a f(n,m)=nln((n+1)ln((m))) es decir, f(n,m)={nn=mnln(f(n+1,m))n<m Queremos limmf(1,m).

Claramente, f(n,) es cada vez mayor (en particular, f(n,m)n) por lo que la convergencia es igual a acotamiento. Compare f(n+1,m+1) contra f(n,m). Si m=n>10, f(n+1,m+1)=f(n,m)+1<2f(n,m). Por inducción en mn m>n10 así f(n+1,m+1)=(n+1)ln(f(n+2,m+1))<(n+1)ln(2f(n+1,m))=(n+1)(ln2+ln(f(n+1,m))<(1+110)n(1+ln2ln11)ln(f(n+1,m))<2f(n,m) Así f(n,m)<f(n+1,m+1)<2f(n,m)mn10 Esto hace que f(n,m)<f(n,m+1)=nlnf(n+1,m+1)<nlnf(n,m)+nln2 para n10. El lado derecho es más lento de lo lineal en f(n,m), por lo tanto f(n,m) está delimitada desde arriba, limmf(n,m) existe y en última instancia lo hace limmf(1,m)

Comentario: Numéricamente, (1) nos da f(10,m)<44.998. Este llega a un límite superior f(1,m)<1.36794 Pero del mismo modo, nos encontramos con f(20,m)<107 y con la que puede mejorar el obligado a f(1,m)<1.3679012618 (para la comparación, f(1,20)>1.3679012615). Comenzando con un límite de f(50,m), se puede calcular el limf(1,m)=1.367901261797085169668909175760 30 decimales.

0voto

RideTheWavelet Puntos 56

Definir para n1 los números de xn+1=exp(xn/n). A continuación, x1=log(x2)=log(2log(x3)), y así sucesivamente.

Podemos observar que si x11.367,, a continuación, la secuencia de xn inicialmente se incrementa, entonces rápidamente disminuye y se estabiliza. Si el xn son en realidad acotada, entonces limnexp(xn/n)=1, por lo que debemos tener xn1. También, podemos ver que si para algunos n3, xn<n, a continuación, xn+k<e todos los k1, por lo que esta es una condición suficiente para que la secuencia se estabilice (y por lo tanto converge a 1).

Si x1>1.368,, luego esta secuencia muy rápidamente se desmorona. Si para algunos n23, xn>n3/2, a continuación,xn+1exp(n)>(n+1)3/2,, por lo que la secuencia crece de manera exponencial. Esto se puede mejorar a un n1+ϵ obligado si n se toma lo suficientemente grande, desde exp(nϵ)>(n+1)1+ϵ eventualmente.

Así que suponemos que el valor de esta anidada de registro tiene una colección de límites inferiores dado por x1 para que la secuencia de {xn} eventualmente se estabiliza, y una colección de límites superior dado por x1 para que la secuencia de golpes. Mi conjetura es que, cuanto más x1 es el valor true, el más largo en la secuencia de uno tendrá que ir a ver a la estabilización o la voladura de comportamiento.

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