¿El infinito anidada logaritmo $\ln(2\ln(3\ln(4\ln(5\ln(6...)))))$ convergen?

Question

Yo estaba jugando con el anidada radicales y decidí ver si anidada ecuaciones de los logaritmos convergerían.

Parece converger a un valor en torno a $1.368$, y a una profundidad de 20 tiene un valor de $1.3679012...$, sin embargo no estoy seguro de cómo probar si realmente hace converger.

Answer 1

Yo reclamo que $$\ln(2 \ln(3 \ln(\cdots \ln(n)\cdots))) < 2. \tag{1}$$ Para ver esto, exponentiate en ambos lados para obtener un equivalente a la desigualdad $$\ln(3 \ln(4 \ln(\cdots \ln(n)\cdots))) < \frac{e^2}{2}.\tag{1*}$$ The RHS is greater than $3$, so $\texto{(1*)}$ is implied by $$\ln(3 \ln(4 \ln(\cdots \ln(n)\cdots))) < 3. \tag{2}$$ Exponentiate de nuevo para ver que $\text{(2)}$ es equivalente a $$\ln(4 \ln(5 \ln(\cdots \ln(n)\cdots))) < \frac{e^3}{3}, \tag{2*}$$ que, como $e^3/3 > 4$, es a su vez implica por $$\ln(4 \ln(5 \ln(\cdots \ln(n)\cdots))) < 4, \tag{3}$$ y podemos continuar este proceso de debilitamiento de la desigualdad original, consiguiendo una cadena de implicaciones $(1) \Longleftarrow (2) \Longleftarrow (3) \Longleftarrow \cdots$, hasta que, finalmente, conseguir que el conjunto de la cadena es implícita por $\ln n < n$, claramente cierto. El debilitamiento pasos dependen de la desigualdad $$\frac{e^n}{n} > n+1$$ holding for integers $n \geq 2$, but this is easy to prove; by Taylor series, for positive $n$, $$e^n - n^2 - n > 1 - n^2 + \frac{n^3}{6} = \left(\frac{n}{6} - \frac{1}{2}\right)n^2 + 1,$$ which is manifestly positive for $n \geq 3$ and can be checked manually for $n = 2$.

Como el lado izquierdo de $\text{(1)}$ claramente aumenta con la $n$, y limita la monotonía de las secuencias son convergentes, el infinito, la expresión de $\ln (2 \ln (3 \ln(4 \ln (\cdots))))$ converge y es en la mayoría de las $2$.

Answer 2

Para $n\le m$, vamos a $$ f(n,m)=n\ln((n+1)\ln(\ldots (m)\ldots))$$ es decir, $$f(n,m)=\begin{cases}n&n=m\\n\ln(f(n+1,m))&n<m\end{cases} $$ Queremos $\lim_{m\to\infty}f(1,m)$.

Claramente, $f(n,\cdot)$ es cada vez mayor (en particular, $f(n,m)\ge n$) por lo que la convergencia es igual a acotamiento. Compare $f(n+1,m+1)$ contra $f(n,m)$. Si $m=n>10$, $f(n+1,m+1)=f(n,m)+1<2f(n,m)$. Por inducción en $m-n$ $m>n\ge 10$ así $$ \begin{align}f(n+1,m+1)&=(n+1)\ln( f(n+2,m+1) )\\&<(n+1)\ln(2f(n+1,m))\\&=(n+1)(\ln 2+\ln(f(n+1,m))\\&<(1+\tfrac1{10})n\cdot (1+\tfrac{\ln2}{\ln11})\ln(f(n+1,m))\\&<2f(n,m)\end{align}$$ Así $$f(n,m)<f(n+1,m+1)<2f(n,m)\qquad m\ge n\ge 10 $$ Esto hace que $$\tag1f(n,m)<f(n,m+1)=n\ln f(n+1,m+1)<n\ln f(n,m)+n\ln 2 $$ para $n\ge 10$. El lado derecho es más lento de lo lineal en $f(n,m)$, por lo tanto $f(n,m)$ está delimitada desde arriba, $\lim_{m\to\infty}f(n,m)$ existe y en última instancia lo hace $\lim_{m\to\infty}f(1,m)$

Comentario: Numéricamente, $(1)$ nos da $f(10,m)<44.998$. Este llega a un límite superior $$f(1,m)< 1.36794$$ Pero del mismo modo, nos encontramos con $f(20,m)<107$ y con la que puede mejorar el obligado a $$f(1,m)<1.3679012618$$ (para la comparación, $f(1,20)>1.3679012615$). Comenzando con un límite de $f(50,m)$, se puede calcular el $$\lim f(1,m)=1.367901261797085169668909175760\ldots$$ 30 decimales.

Answer 3

Definir para $n\geq 1$ los números de $x_{n+1}=\exp(x_{n}/n)$. A continuación, $x_{1}=\log(x_{2})=\log(2\log(x_{3})),$ y así sucesivamente.

Podemos observar que si $x_{1}\leq 1.367,$, a continuación, la secuencia de $x_{n}$ inicialmente se incrementa, entonces rápidamente disminuye y se estabiliza. Si el $x_{n}$ son en realidad acotada, entonces $\lim_{n\rightarrow\infty}\exp(x_{n}/n)=1$, por lo que debemos tener $x_{n}\rightarrow 1$. También, podemos ver que si para algunos $n\geq 3,$ $x_{n}<n,$ a continuación, $x_{n+k}<e$ todos los $k\geq 1$, por lo que esta es una condición suficiente para que la secuencia se estabilice (y por lo tanto converge a 1).

Si $x_{1}>1.368,$, luego esta secuencia muy rápidamente se desmorona. Si para algunos $n\geq 23,$ $x_{n}>n^{3/2},$ a continuación,$x_{n+1}\geq\exp(\sqrt{n})>(n+1)^{3/2},$, por lo que la secuencia crece de manera exponencial. Esto se puede mejorar a un $n^{1+\epsilon}$ obligado si $n$ se toma lo suficientemente grande, desde $\exp(n^{\epsilon})>(n+1)^{1+\epsilon}$ eventualmente.

Así que suponemos que el valor de esta anidada de registro tiene una colección de límites inferiores dado por $x_{1}$ para que la secuencia de $\{x_{n}\}$ eventualmente se estabiliza, y una colección de límites superior dado por $x_{1}$ para que la secuencia de golpes. Mi conjetura es que, cuanto más $x_{1}$ es el valor true, el más largo en la secuencia de uno tendrá que ir a ver a la estabilización o la voladura de comportamiento.