Para n≤m, vamos a f(n,m)=nln((n+1)ln(…(m)…))
es decir,
f(n,m)={nn=mnln(f(n+1,m))n<m
Queremos limm→∞f(1,m).
Claramente, f(n,⋅) es cada vez mayor (en particular, f(n,m)≥n) por lo que la convergencia es igual a acotamiento.
Compare f(n+1,m+1) contra f(n,m).
Si m=n>10, f(n+1,m+1)=f(n,m)+1<2f(n,m).
Por inducción en m−n m>n≥10 así
f(n+1,m+1)=(n+1)ln(f(n+2,m+1))<(n+1)ln(2f(n+1,m))=(n+1)(ln2+ln(f(n+1,m))<(1+110)n⋅(1+ln2ln11)ln(f(n+1,m))<2f(n,m)
Así
f(n,m)<f(n+1,m+1)<2f(n,m)m≥n≥10
Esto hace que
f(n,m)<f(n,m+1)=nlnf(n+1,m+1)<nlnf(n,m)+nln2
para n≥10. El lado derecho es más lento de lo lineal en f(n,m), por lo tanto f(n,m) está delimitada desde arriba, limm→∞f(n,m) existe y en última instancia lo hace limm→∞f(1,m)
Comentario: Numéricamente, (1) nos da f(10,m)<44.998.
Este llega a un límite superior
f(1,m)<1.36794
Pero del mismo modo, nos encontramos con f(20,m)<107 y con la que puede mejorar el obligado a f(1,m)<1.3679012618
(para la comparación, f(1,20)>1.3679012615). Comenzando con un límite de f(50,m), se puede calcular el limf(1,m)=1.367901261797085169668909175760… 30 decimales.