¿Por qué el límite de $\lim_{x \to \infty} \arcsin \left(\frac{x+1}{x}\right)$ no existe?

Question

¿Por qué esta este límite no existe?

$$\lim_{x \to \infty} \arcsin \left({x+1\over x}\right)$$

Según yo en dividir el numerador y el denominador por $x$ y, a continuación, poner $ x = \infty $ deberíamos $ \arcsin (1) $ que es igual a $ \frac{\pi} 2$ . Donde estoy equivocado?

Answer 1

Debido a $\frac{x+1}{x}>1$$x>0$, e $\arcsin{y}$ no está definida para $y>1$.

Por otro lado, el límite de $x \to -\infty$ no existe, ya que $-1<\frac{x+1}{x}<1$ para suficientemente grande negativo $x$, y es $\pi/2$.

Answer 2

El $\arcsin$ función sólo está definida en el dominio $-1 \le x \le 1$. Desde la entrada de ${x+1 \over x} > 1 \,\forall x > 0$, el límite no existe.

Answer 3

El límite no existe, porque $\frac{x+1}{x}$ enfoques $1$ desde la derecha, donde $\arcsin(x)$ no está definido.

Answer 4

...en dividir el numerador y el denominador por x y, a continuación, poner $x=\infty$...

si se pudiera hacer eso, entonces no hay realmente una necesidad para siempre el uso de límites. $\infty$ no es un número (en el análisis estándar, que es), por lo que no se puede "poner a $x=\infty$".

En su lugar, la idea de que el límite es poner cada vez en mayores finito de valores de $x$ y aún así obtener un resultado que no sólo es siempre finito, pero en realidad converge hacia algún punto (que podemos llamar el límite). Esto no funciona para $$ \lim_{x\to\infty} \arcsin\Bigl(\underbrace{\frac{x}{x+1}}_{y}\Bigr) $$ porque aquí, usted siempre tiene $0<y<1$, de modo que pueda siempre encontrar una solución a $y = \sin t$, y debido a $y$ va asintóticamente a $1$, esto^† converge a un único punto:

Pero no en todos trabajan por el límite que estás preguntando, porque aquí $y>1$ finita $x$, y eso significa que en realidad no obtener nunca una solución. Así también no puede ser un límite.

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^†_{Sólo converge si realmente se elige siempre la misma solución, como siempre el absoluto-más pequeño, que es lo que el $ⅹcsin$ función de los rendimientos.}

Answer 5

Se equivocan al suponer que

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(\lim_{x\to a}x).$$

Tiene una perfecta contra-ejemplo antes.