Diferenciación implícita con una escalera deslizante

Question

A $5$ -La escalera de un pie de largo está apoyada en una pared, de modo que la parte superior de la escalera está a 4 pies del suelo y la parte inferior de la escalera está $3$ pies de la pared. En algún momento, la escalera se desliza de manera que la parte superior de la escalera cae a una velocidad constante de $1 \,\frac{\text{ft}}{\text{min}}$ . ¿A qué velocidad se aleja la parte inferior de la escalera de la pared?

Dejo que $y=$ distancia a lo largo de la pared, y $x=$ distancia a lo largo del suelo, de modo que, $$x^2 + y^2 = 25$$ Por lo tanto,

$$2y\frac{dy}{dt}+2x\frac{dx}{dt}=0$$ Inicialmente, $$2(4)(-1)+2(3)\frac{dx}{dt}=0$$ $$\therefore\frac{dx}{dt}=\frac{4}{3}$$ Todo esto está muy bien, pero mi confusión radica en el siguiente análisis:

Hemos establecido $dy/dt=-1$ y $dx/dt=4/3$ y sabemos que inicialmente, $$4^2 + 3^2=25$$

Digamos que pasa un minuto, entonces la distancia vertical debe disminuir en 1 pie, la distancia horizontal debe aumentar en $4/3$ y la longitud de la escalera es siempre de 1,5 m.

$$(4-1)^2 + (3+4/3)^2 = 27.77...\neq 25$$

Habría pensado que la escalera siempre tendría 1,5 metros de largo, pero según lo anterior, ahora tiene una longitud de ~1,5 metros. Una segunda iteración conduce a una longitud de ~6 pies. Esta escalera parece estar creciendo en longitud, lo que no tiene sentido. ¿Qué está pasando?

Answer 1

$4/3 \text{ ft/min}$ y $-1 \text{ ft/min}$ son los tasas de cambio instantáneas cuando $x = 3$ y $y = 4$ . Esa tasa de cambio cambia constantemente a medida que pasa ese instante, y no permanecerá igual durante todo un minuto. Por lo tanto, tu análisis es incorrecto porque supone tasas de cambio constantes durante todo un minuto.

Answer 2

La cuestión aquí es que cuando se sustituye por $x, y, \frac{dy}{dt}$ en tu expresión diferenciada, estás sustituyendo esos valores, como afirmas, "en algún momento [particular]", digamos, $t_0$ : Si utilizamos una notación que refleje esto, tenemos $$2 x(t) x'(t) + 2 y(t) y'(t) = 0,$$ y sustituyendo en nuestro momento particular $t_0$ tenemos $$2 x(t_0) x'(t_0) + 2 y(t_0) y'(t_0) = 0.$$ Ahora, nuestros datos dados son $x(t_0), y(t_0), y'(t_0)$ (en realidad, sabemos que $y'$ es constante, pero esto no es relevante), y sustituyendo y reordenando se obtiene $$x'(t_0) = \frac{4}{3} \textrm{ ft/min} .$$ En particular, esto nos indica la velocidad $x'$ sólo en el momento concreto $t_0$ En efecto, $x'$ varía con el tiempo.

Answer 3

Su hallazgo de que $\frac{dx}{dt}=\frac{4}{3}$ se basa en el hecho de que $y=4$ y $x=3$ . Esto es cierto en $t=0$ pero no es cierto para cualquier momento posterior. Como $x$ y $y$ cambio, también $\frac{dx}{dt}$ cambios.

Answer 4

Sólo para ilustrar las otras respuestas, podemos calcular explícitamente lo que $\frac{dx}{dt}$ es después de que haya pasado un minuto (es decir, en $t=1$ ).

Ha calculado que

$$ 2y\frac{dy}{dt} + 2x \frac{dx}{dt} = 0 $$

de modo que (utilizando el hecho de que $dy / dt = -1$ )

$$ \frac{dx}{dt} = \frac{y}{x}. $$

En $t=1$ , $y=3$ así que

$$ x^2 + 3^2 = 5^2 \implies x=4. $$

Así, en $t = 1$ ,

$$ \frac{dx}{dt} = \frac{3}{4}. $$

De hecho, podemos calcular $\frac{dx}{dt}$ para cualquier $t\in[0,4]$ . Observe que la información que se le da significa esencialmente que $y = 4-t$ para que

$$ x = \sqrt{25 - (4-t)^2} $$

lo que nos da que

$$\frac{dx}{dt} = \frac{4-t}{\sqrt{25 - (4-t)^2}}. $$