En el contexto de la anisotropía, muchas veces he leído que el uso de un tensor de rango 2 es "un modelo". Pero ¿cuál es la idea detrás de esta elección? Puede alguien describir en qué sentido el uso del tensor en este contexto es un "modelo"?
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SkyBeam
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El tensor de la misma no es el modelo, pero el tensor se utiliza para el modelo (también se podría decir que describir o cuantificar) la anisotropía.
Un ejemplo es un anisotrópico conductor eléctrico. La conductividad $\sigma$ describe que la corriente se produce en respuesta a un campo eléctrico $\vec j = \sigma \vec E$. En isotrópica materiales (por ejemplo, vidrio, microcristalina de los metales, cuando promedió), esta cantidad es escalar, lo que significa que el actual apunta en la misma dirección que el campo eléctrico y el cuánto de la densidad de corriente es generada por el campo eléctrico no depende de la dirección.
En general, sin embargo, la conductividad es un tensor de rango 2. Por ejemplo, en un grafito de monocristal (que consta de términos junto capas) la conductividad de las capas es mucho mayor, que la conductividad perpendicular a las capas. Así, en un sistema de coordenadas donde las capas se apilan a lo largo de la $z$-dirección vamos a tener un tensor de conductividad de la forma (suponiendo que la conductividad es de aproximadamente isotrópica dentro de las capas): \begin{align*} \sigma &= \begin{pmatrix} \sigma_l & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_l & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_p \end{pmatrix} \end{align*} Aquí $\sigma_l \gg \sigma_p$. Por lo que podemos calcular la corriente que se produce si se aplica una arbitraria campo eléctrico con este tensor, y la corriente será mayor a lo largo de las capas de las que se perpendicular a las capas. La cosa buena acerca de esta relación es, que $\vec j = \sigma \vec E$ sostiene que en cualquier sistema de coordenadas, sólo tenemos que transformar los componentes de $\sigma$ respectivamente. (Incluso se puede determinar la orientación de las capas de macroscópica de la medición de la conductividad tensor mediante el cálculo de los ejes principales del tensor).
Tenga en cuenta, que hay anisotropías que debe ser descrito por los tensores de rango superior. Por ejemplo, el estrés mecánico en un material es un tensor de rango 2 y el tensor de elasticidad (en relación con la tensión a la tensión) es un tensor de rango 4.
Que los tensores son los objetos que se producen aquí tiene dos razones:
Las ecuaciones deben ser invariantes bajo la elección de los sistemas de coordenadas y los tensores son los objetos naturales cuando buscamos ecuaciones invariante bajo rotaciones (o más general, bajo arbitraria transformaciones de coordenadas).
A menudo trabajamos en la linearización de las teorías y de la ecuación de $A^{(n)} = B^{(n+m)} C^{(m)}$ (donde la yuxtaposición denota la contracción y la parte superior de los índices de denotar el tensor de rango) es el más general de la relación lineal entre la tensores $A$$C$.
Hautdesert
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703
Me gustaría ampliar Sebastián bonita respuesta a señalar que cualquier orientación sensible a la cantidad de $f(\hat v)$ puede ser ampliado por armónicos esféricos y de la simetría del rango-2 tensor puede ser usado a menudo para representar el primer término distinto de cero.
Para entender esto, hay que empezar por señalar que todos estos armónicos esféricos vienen con un polinomio factor de estructura. Usted puede ser reconocida desde atómico orbital de la teoría (de la wikipedia):
En este caso estamos tratando de representar la función de onda $\psi(\vec r)$.
Aviso de la tercera fila hay estos polinomios que etiquetar los diferentes orbitales. Por un momento angular (l), de un estado con el que el impulso puede ser marcado por un grado l polinomio con coeficientes complejos, en los que consideramos que la "huella polinomio" $x^l + y^l + z^l$ equivalente a cero (esto sólo contribuye a la isotrópica ($l = 0$) de respuesta).
En particular, para $l = 2$ (el quadropole momento), estamos hablando de polinomios cuadráticos, y la podemos representar como una traceless simétrica matriz $A$ por
$$v^T A v,$$
donde $v$ es el vector de la $v^T = (x,y,z)$. Este traceless simétrica matriz $A$, una vez que dejamos que dependen de la posición en el espacio, se convierte en nuestro rango-2 simétrica del tensor. Para muchas aplicaciones, esta es la primera multipolo momento que es distinto de cero (porque genérico potenciales son cuadrática cerca de equilibrio). En esos casos, a la primera orden, esta matriz es el objeto de interés.
En general, sin embargo, los armónicos esféricos son marcados por los tensores simétricos de todo rango, y esta descomposición tiene que ver con la teoría de la representación de $SO(3)$. Un modelo más avanzado puede tener que incluir más de multipolo momentos para capturar la orientación de la dependencia -.
Creo que Sebastián ejemplo de la conductividad de la matriz en realidad es un poco confuso, ya que no estamos hablando de un vector de valores de la cantidad que depende también de la orientación, a saber,$\vec j(\vec E)$. En este caso, la conductividad de la matriz en realidad viene de la $l = 1$ momento (la posición (1,1), no su rango (2,0)). La simetría de esta matriz no garantizados por la teoría de la representación, sino por el modelo de onsager reciprocidad. Momentos de orden superior vendría de no lineal correcciones a la ley de Ohm, pero esta simetría relación sería todavía se mantienen cerca de equilibrio!
Del mismo modo, el tensor elástico es un rango (2,2) tensor simétrico en cada factor ($l=2$) y en realidad también simétrica entre los dos, pero la razón de esto último, la simetría es un misterio para mí...
Ohnomydisk
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26
En el contexto de la anisotropía, a menudo he leído que el uso de un tanque de 2 tensor es "un modelo". Pero ¿cuál es la idea detrás de esta elección? Puede alguien describir en qué sentido el uso del tensor en este contexto es un "modelo"?
Sin contexto, es difícil adivinar en qué, exactamente, alguien podría decir, refiriéndose a una de segundo orden tensor como "un modelo", como podría ser una referencia a un montón de diferentes tipos de observaciones.
Personalmente, creo que me he quejado más acerca de él con el típico presunción de la localidad, lo que pasa en él. Para un simple ejemplo, hay el tensor de tensiones de Cauchy de la mecánica de fluidos:
.
Entiendo completamente por qué la gente podría pensar que esto es bastante general, ya que parece que para evitar suposiciones acerca de la dinámica, en cualquier momento dado.Sin embargo, el tensor refleja la suposición implícita de que las interacciones mecánicas son locales, es decir, que no está totalmente capturado en cualquier momento dado. Y tal vez esto se parece como una justificación suficiente aproximación para los sólidos cristalinos, pero incluso en el mejor de los casos, es sólo una aproximación.
A continuación, en el extremo opuesto del espectro, por ejemplo, bajo la presión de los gases, obviamente hay importantes de caminos libres, de tal manera que las interacciones mecánicas de un líquido están bien descritos, asumiendo el modelo local implícita por el tensor.
Esto no es necesariamente lo que es un altavoz de medios en un contexto dado, a pesar de que es un tipo de modelado de asunción representado por un tensor de que alguien podría estar refiriendo.
Encontró un artículo de la Wikipedia que explica una relajación:
En el continuum de la mecánica, la deformación finita de la teoría-también llamado gran cepa de la teoría, o la gran deformación de la teoría-se trata de deformaciones en el que las cepas y/o rotaciones son lo suficientemente grandes como para invalidar los supuestos inherentes infinitesimal de la cepa de la teoría.
–"Deformación finita de la teoría", Wikipedia
A pesar de que en general, si usted está trabajando con los de segundo orden, tensores, probablemente usted está trabajando con un modelo de uso de los tensores para capturar infinitamente localizada interacciones, lo cual es muy conveniente-pero-obviamente-modelo defectuoso en el mundo real de la física de la situación.
