¿Cuál es la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea?

Question

Supongamos que la distancia $x$ varía con el tiempo como: $$x = 490t^2.$$ Tenemos que calcular la velocidad en $t = 10\ \mathrm s$ . Mi pregunta es que por qué no podemos poner $t = 10$ en la ecuación $$x = 490t^2$$ que nos da la distancia total recorrida por el cuerpo y luego la dividimos por 10 (ya que $t = 10\ \mathrm s$ ) que nos dará la velocidad, así:- $$v~=~\frac{490 \times 10 \times 10}{10} ~=~ 4900\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$$ Por qué debemos utilizar la diferenciación, así: $$ \begin{array}{rl} x & = 490t^2 \\ \\ v & = \mathrm dx/\mathrm dt \\ & = \mathrm d(490t^2)/\mathrm dt \\ & = 490 \times 2 \times t \\ & = 490 \times 2 \times 10 \\ & = 9800\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array} $$ Lo que no sólo crea confusión sino que también da una respuesta diferente. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Tu pregunta es legítima y no entiendo por qué ha sido descalificada. La confusión surge en la diferencia entre velocidad media e instantánea.

Considera este ejemplo: un coche se mueve a 10 m/s durante 5 segundos y luego se detiene en un semáforo durante otros cinco segundos. ¿Cuál es la velocidad del coche después de 7 segundos? Según tus cálculos, sería $\frac{5 \,\textrm{s}\cdot10\,\textrm{m/s}}{7 \, \textrm{s}}\approx 7.14$ m/s, lo cual es obviamente erróneo porque el coche está completamente en reposo después de 7 segundos. Lo que acabas de calcular es el media velocidad del coche durante esos 7 segundos.

Preguntar por la velocidad de un cuerpo en un momento dado equivale a preguntar "¿cuánto cambiará la posición después de una cantidad infinitesimal de tiempo?", lo que es, en términos no rigurosos, como tomar una cantidad infinitesimal de espacio $dx$ y dividiéndolo por una cantidad infinitesimal de tiempo $dt$ (no es así como se definen matemáticamente las derivadas, pero funciona a nivel intuitivo). La velocidad media durante un tiempo infinitesimal se convierte en la velocidad instantánea y se calcula mediante la derivada.

en nuestro ejemplo anterior obtendríamos $0$ Porque a los 7 segundos, y justo antes y después de los 7 segundos, el coche está en reposo.

Answer 2

Una cosa que debes notar sobre tu método es que obtienes un resultado diferente dependiendo del rango de tiempo que promedies. Estás promediando desde el tiempo t = 0 hasta t = 10, pero ¿qué tiene de especial t = 0?

Si se hace lo mismo, pero partiendo de t = 5, se obtiene

$$v = \frac{490 \times 10 \times 10 - 490 \times 5 \times 5}{10 - 5} = 7350$$

Dado que el objetivo es determinar la velocidad instantánea en un momento determinado, el hecho de que el resultado dependa de algún otros El tiempo que incluya en la ecuación debe ser un fuerte indicio de que su resultado no se refiere sólo al tiempo deseado, sino al rango de tiempo en su conjunto.

Cuando se calcula una derivada, se está calculando el límite del resultado de ésta a medida que el tamaño de este rango de tiempo se hace más y más pequeño, lo que se aproxima al período infinitamente mínimo que llamamos "instantáneo".

Otra forma de pensar en esto intuitivamente es que la velocidad instantánea es lo que verías si tuvieras un velocímetro y lo miraras en el momento t = 10. La lectura del velocímetro en ese momento no es un promedio desde que arrancaste el coche, es sólo esa velocidad momentánea (esto es una simplificación, ya que el mecanismo interno del velocímetro está necesariamente promediando en un corto período de tiempo, pero sirve para entender el punto).

Answer 3

Estás calculando el cociente de diferencia , $$ \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} \,,$$ donde $x\left(t\right)=490t^2$ , $b=10$ y $a=0$ tal que $$ \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}~=~ \frac{490 \times {10}^2-490 \times 0^2}{10-0}~=~ 4900. $$ El cociente de la diferencia converge en la derivada a medida que los puntos finales se acercan infinitamente. Su enfoque de cálculo es bastante parecido a cómo los ordenadores realizan partes de la método de las diferencias finitas si haces que ese intervalo sea más pequeño.

Por ejemplo, utilicemos su método donde $x_b=10+0.001$ y $x_a=10-0.001$ ; entonces, pidiéndole a WolframAlpha que haga estos cálculos por nosotros+%2F+((10%2B0.001)+-+(10-0.001))) Tenemos $$ \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}~=~ \frac{490 \times {\left(10+0.001\right)}^2-490 \times {\left(10-0.001\right)}^2}{\left({10+0.001}\right)-\left({10+0.001}\right)}~\approx~ 9800. $$ Este es aproximadamente el mismo valor que obtenemos con el enfoque del cálculo analítico.

Dicho esto, si una ecuación necesita la tasa de cambio instantánea, $\frac{\mathrm{d}f\left(x\right)}{\mathrm{d}x}$ Entonces eso es lo que necesita. Como has observado, el cociente de diferencias puede ser un número muy diferente cuando la diferencia entre $x_b$ y $x_a$ no es insignificante.

Answer 4

Aquí puede ver la posición $x$ cambiando con respecto a $t$ como $x=490t^2$ .

Puedes ver que la posición cambia más rápido en el lado derecho. La velocidad aumenta y la velocidad final es obviamente diferente de la velocidad inicial o de la media.

Espero que la visualización ayude a reforzar lo que las otras respuestas explican con palabras.

Answer 5

Como otros han dicho, cuando se computa $$\frac{x(10)-x(0)}{10-0}$$ está calculando el velocidad media en el intervalo de 10 segundos desde $t=0$ a $t=10$ . Gráficamente, esto corresponde a encontrar la pendiente de la línea secante (línea que cruza la gráfica en 2 puntos) que se muestra en el gráfico siguiente:

La pregunta, sin embargo, es pedir la instantánea velocidad en $t=10$ que corresponde gráficamente a la pendiente de la recta tangente en $(10, 4900)$ como se muestra en el siguiente gráfico:

Si se representan ambas rectas en la misma gráfica se puede ver que no tienen la misma pendiente; de hecho, la recta tangente tiene exactamente el doble de pendiente que la recta secante. Esto demuestra visualmente que la velocidad instantánea no es la misma que la velocidad media.

Aquí hay una curiosa coincidencia: la velocidad instantánea en $t=0$ es exactamente $0$ la velocidad instantánea en $t=10$ es $9800$ por lo que la velocidad media en el intervalo $0 \le t \le 10$ resulta ser igual a la media de las velocidades instantáneas en los dos extremos del intervalo. Esto no ocurre en general: en la mayoría de los casos, la "velocidad media sobre $[a,b]$ " significa algo diferente a "media de las velocidades instantáneas en $a$ y $b$ ", pero siempre ocurre cuando la función de posición es cuadrática (averiguar por qué es así es un ejercicio divertido).