evitar el cálculo

Question

Algunas personas pueden descuidadamente decir que necesita de cálculo para encontrar tal cosa como un máximo local de $f(x) = x^3 - 20x^2 + 96x$. Ciertamente, el cálculo es suficiente, pero si es necesario , es otra cuestión.

Hay un máximo global si se restringe el dominio de a $[0,8]$, e $f$ $0$ a los criterios de valoración y positiva entre ellos. Dicen que el máximo es de a $x_0$. Uno tendría $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\begin{cases} >0 & \text{if }x<x_0, \\ <0 & \text{if }x>x_0. \end{casos}$$ Esta diferencia cociente es indefinida cuando $x=x_0$, pero la mera álgebra nos dice que el numerador factores y obtenemos $$\frac{(x-x_0)g(x)}{x-x_0} = g(x)$$ donde $g(x)$ es un polinomio cuyos coeficientes dependen de $x_0$. Luego, por supuesto, uno busca su ceros ya que se debe cambiar de signo en $x_0$.

Hemos tácitamente se utiliza el teorema del valor intermedio, o de extrema teorema del valor? En qué medida pueden los evitarse? Hay que decir que si hay un punto máximo, luego es un cero de $g(x)$? Y podemos decir que sin el teorema del valor intermedio? (Al menos en el caso de esta función, creo que dejar de necesitar el llamado teorema fundamental del álgebra para contarnos algunos ceros de $g$ existe!)

Answer 1

De hecho, hay un libro famoso por Ivan Niven, precisamente, sobre este tema, es decir, encontrar extrema puramente algebraica o geométrica métodos. Se llama, sólo lo suficiente, Máximos y Mínimos sin Cálculo. Actualmente es publicado por la Mathematicial Asociación de América. Creo que usted encontrará que es fascinante y llena de problemas muy parecida a esta.

Answer 2

Hacemos un análisis utilizando la Media Aritmética Media Geométrica de la Desigualdad.

Hacer el habitual cambio de variable $x=t+\frac{20}{3}$ para eliminar el término en el plaza de la variable. Obtenemos el polinomio cúbico $$t^3-\frac{112}{3}t+k,$$ donde no me molesta para calcular el $k$. Esto es sólo el original cúbicos desplazado horizontalmente.

Así que queremos para el estudio de $f(t)=t^3-\frac{112}{3}t$, o más generalmente, $f(t)=t^3-at$ donde $a\gt 0$. Nuestra función es una función impar, por lo que a partir de ahora suponga que $t\gt 0$, y dejar que la simetría entre el origen cuidar de los demás.

Supongamos que de alguna manera hemos decidido que la acción va a ocurrir en algún lugar en el intervalo de $0\lt t\lt \sqrt{a}$. Permítanos maximizar $2(f(t))^2$ en este intervalo. Tenemos $$2(f(t))^2=(2t^2)(a-t^2)(a-t^2).$$ Tenemos un producto de $3$ términos positivos, cuya suma tiene el constante valor $2a$. Se sigue por el caso de $n=3$ de AM-GM que $$2(f(t))^2 \le \left(\frac{2a}{3}\right)^3,$$ con la igualdad, precisamente, si todas las condiciones del producto son iguales. Esto sucede cuando $2t^2=a-t^2$, que es cuando $$t=\sqrt{\frac{a}{3}}.$$

Answer 3

Hay un tipo de estructura algebraica llamada de un verdadero campo cerrado. Se trata de una estructura con constantes $0$, $1$, y tiene operaciones $+$ $\cdot$ y una relación $<$.

La teoría de la real campos cerrados es interesante, porque cualquiera (de primer orden) instrucción lógica que puede hacer con sólo $0,1,+,\cdot,<$ que es verdad en un solo campo cerrado si y sólo si es verdadera en todos los campos cerrados. Del mismo modo, los que son verdaderos puede ser probada utilizando sólo la lógica de primer orden y los axiomas de la real de campos cerrados, es decir, no es puramente algebraica prueba de ello.

Por ejemplo, para cualquier particular algebraica de la función, la declaración de que un valor particular es un máximo local puede ser expresado en la lógica de primer orden. Por lo tanto, si usted puede encontrar un máximo local con el cálculo, se puede encontrar con pura álgebra.

Por supuesto, los axiomas de la real campo cerrado suelen incluir alguna variante del teorema del valor intermedio: por ejemplo,

todo polinomio de grado impar tiene una raíz

Este es el IVT, ya que un extraño polinomio debe ser positivo en algún lugar y negativo en algún lugar. Por supuesto, esto también puede ser visto como una variante del teorema fundamental del álgebra. En última instancia, en el puramente algebraica de configuración, no hay mucha diferencia entre los dos.