¿Por qué es $a$ $b$ coprime si $a\equiv 1 \pmod{b}$?

Question

$a$ $b$ son coprime si su máximo común divisor es 1. ¿Cómo llego a la conclusión de que el hecho de que $b$ divide $a-1$?

Answer 1

Si $b\mid a-1$, entonces no es un número entero $n$ tal que $a-1=bn$, y por lo tanto $a-bn=1$. Supongamos que $d\mid a$$d\mid b$: a continuación,$d\mid a-bn$. (¿Por qué? Si tienes alguna duda, usted debe escribir los detalles del argumento.) ¿Qué dice usted acerca de $d$?

Answer 2

Sugerencia $\begin{eqnarray}\qquad \rm mod\!\!\!\! &\rm\,\ \ \color{#C00}b\!:&\rm\ \color{#C00}{ a}\ |\ c \\ \Rightarrow\, &\rm\! (\color{#C00}b\,\! &\!\!\!\!,\ \rm\color{#C00} a)\,|\:c\ \ in\ \ \mathbb Z \end{eqnarray}\ \ \bigg\}$ $\begin{eqnarray} &&\rm{\bf Proof}\quad\! m\:\!b+n\,a\, =\, c\ \ \,so\,\ \ (b,a)\:|\:b,a\:\Rightarrow\:(b,a)\:|\:c\\ &&\rm{\bf Note}\quad\ \ c=1\,\ \ yields\ your\ special\ case. \end{eqnarray}$

Comentario $\ $ El recíproco es cierto, como se desprende de Bezout, viz. $$\rm (b,a)\:|\:c \iff b\,\mathbb Z + a\,\mathbb Z\,\ni\, c\iff a\:|\:c\ \ (mod\ b)$$

Answer 3

Si un≡1(mod b), existe un entero k tal que a=1+b.k

(a,b)=(1+b.k,b)=(1+b.k-b.k, b) como (a,b)=(a-b.m,a) para cualquier entero m.

=>(a,b)=(1,b)=1