Subgrupo de $\pi_1(\mathbb T^2 \sharp \mathbb T^2 )$ con índice de $2$

Question

Sabemos $\pi_1(\mathbb {T^2} \sharp \mathbb T^2)=\langle\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2|\alpha_1 \beta_1 \alpha_1^{-1} \beta_1^{-1}\alpha_2\beta_2\alpha_2^{-1}\beta_2^{-1}=1\rangle$.

Mi pregunta es: ¿Cómo encontrar un subgrupo de la misma con el índice de $2$?

Creo que tenemos que encontrar un subgrupo H de $\pi_1(\mathbb {T^2} \sharp \mathbb T^2)$ a que dos de generador.Y $aH \cup bH=\pi_1(\mathbb {T^2} \sharp \mathbb T^2)$$a,b\in \pi_1(\mathbb {T^2} \sharp \mathbb T^2）$.

Pero, ¿cómo lidiar con el equivalente a la relación?Gracias!

Answer 1

Deje $G=\pi_1(\mathbb{T}^2\sharp\mathbb{T}^2)$. A continuación,$G^{\rm ab}\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, con generadores de ser las imágenes de $\alpha_1$, $\beta_1$, $\alpha_2$, y $\beta_2$. Cualquier subgrupo de índice dos debe contener el colector de un subgrupo de $G$, y por lo que sólo corresponde a los mapas de $G^{\rm ab}$ a $C_2$. Mapas de $G^{\rm ab}$ $C_2$están en bijection con elementos de $C_2^4$, por lo que hay ejemplo $15$ subgrupos de índice $2$, correspondiente a cómo asignar las $\alpha_i$.

Por ejemplo, el mapa dada por la asignación de $\alpha_1$ para el generador de $C_2$ y todos los demás generadores para la identidad da el subgrupo de índice $2$ que es normal que se cierre el subgrupo generado por $\alpha_1^2$, $\alpha_2$, $\beta_1$, y $\beta_2$.