Deje $$A_r=\int_{{0}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{r}x \ \ dx$$
¿Cuál es la relación entre $A_r$$A_{r-2}$ ? Entonces, encontrar el valor de $A_r$ todos los $r$.
Respuesta
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Suponga $r\ge 2$. Para integrar por partes, vamos a $u=\sin^{r-1} x$, $dv=\sin x\,dx$. A continuación, $du=(r-1)\cos x\,\sin^{r-2}x\,dx$ y podemos tomar $v=-\cos x$. Así nos encontramos con que $$A_r=\left.(-\cos x)\sin^{r-1} x\right|_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}(r-1)\cos^2 x \sin^{r-2} x\,dx.$$
Desde $r \ge 2$, el primer término en el lado derecho es $0$ (el coseno plazo muere en $\pi/2$, el sine plazo muere en $0$). Reescribir $\cos^2 x$$1-\sin^2 x$. A continuación, obtenemos $$A_r=\int_0^{\pi/2}(r-1)(1-\sin^2 x)\sin^{r-2} x\,dx=(r-1)A_{r-2}-(r-1)A_r.$$ De esto podemos obtener $$rA_r=(r-1)A_{r-2},\quad\text{or equivalently}\quad A_r=\frac{r-1}{r}A_{r-2}.\tag{$1$}$$
Ahora, para un entero $r$ hay $2$ bastante diferente de los casos, $r$ impar y $r$ incluso. Tratarlos por separado.
Después de un tiempo, usted será capaz de encontrar una fórmula general. Pero tenga en cuenta que nuestro recurrencia $(1)$ da $A_r$ en términos de la "simple" $A_{r-2}$. Entonces podemos usar la repetición para expresar $A_{r-2}$ en términos de la más simple a $A_{r-4}$, y así sucesivamente. Te sugiero que primero manejar los casos de $r=1$, e $r=0$. Por ejemplo, es fácil comprobar que $A_1=1$.
Ahora vamos a tratar con extraña $r$. Es mejor tratar primero con un concreto caso. Vamos a por ejemplo, encontrar $A_7$. Por la recurrencia $(1)$,$A_7=\frac{6}{7}A_5$. Pero, de nuevo, por la recurrencia $(1)$, $A_5=\frac{4}{5}A_3$. Pero $A_3=\frac{2}{3}A_1$. Por lo $A_7=\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}$.
Ahora usted debería ser capaz de ver lo que sucede en el caso general, $r$ impar.
Para$r$, incluso, ir a través de un procedimiento similar para decir $r=6$ o $r=8$ a ver lo que está pasando. Entonces usted debería ser capaz de manejar el caso general.
