Estoy tratando con la solución de la ecuación de onda en dos de los casos representados en la figura por Caso a y Caso B. Las dos cifras se obtuvieron por el resplandor de una losa con un incidente de onda que viene de la derecha (Caso a) y de la izquierda (Caso B). He verificado que la solución para el Caso de A. parece ser la correcta. Por lo tanto he utilizado la misma metodología para derivar la solución para el Caso de B. sin Embargo, sospecho que la solución para el Caso B está mal, aunque no soy capaz de entender por qué. Independientemente de la correcta/incorrecta resultado de la ecuación de onda en el caso B, me gustaría saber si hay una manera para obtener la solución de la ecuación de onda en el Caso B de la de Un Caso mediante la aplicación de un tipo de simetría. Por favor, tenga en cuenta que $\eta(x)$ no necessarely cualquier simetría con respecto al $x$.
Esta es mi solución. Dada la ecuación de onda:
\begin{equation}
\frac{d^2y(x)}{dx^2}+k^2 \left(1+\eta(x)\right) y(x)=0
\end{equation}
Su solución se puede encontrar mediante el uso de la función de Green método. Los detalles del método se proviced para el Caso B. Cuando se aplica al Caso de la ecuación de onda tiene la solución:
\begin{equation}
y(x)=c_1 e^{-j k x}+c_2 e^{j k x}+\frac{j k}{2} \int_0^Le^{j k |x-t|} \eta(t) y(t) dt
\end{equation}
donde $j^2 = -1$ $c_1$ $c_2$ son la constante de integración. Con el fin de determinar las constantes tenemos que considerar las condiciones de frontera. 
Cuando refferring para el caso a de la figura es posible distinguis una onda incidente y la onda reflejada en el lado derecho, y una onda transmitida en el lado izquierdo. En este caso, los siguientes boundatry condiciones:
\begin{align}
y(L)=1+R_L\\
y'(L)=-jk(2-y(L))\\
y(0)=T_L\\
y'(0)=-jky(0)
\end{align}
Mediante la aplicación de estas condiciones de frontera, mientras que distinguir los dos casos $t-x>0$ (lado izquierdo de la foto) y $t-x<0$ (lado derecho de la imagen) es possibler para encontrar una ecuación diferencial en $T_L$.
Ahora me gustaría repetir el mismo tipo de cálculo en la segunda imagen (Caso B). En esta imagen de la onda incidente es viniendo desde el lado izquierdo, mientras que la onda transmitida es en el lado derecho. En el caso de una onda que se propaga en la misma dirección del eje x positivo término exponencial. Tengo una duda con respecto a la figura B. En este caso de una onda que viaja en la misma dirección que el eje x tiene una dependencia de la $-x$. Es esto correcto? Supongo que es sólo una cuestión de convenciones. La condición de contorno para el caso en la figura B son de curso de conmutación: \begin{align} y(0)=1+R_L\\ y'(0)=-jk(2-y(0))\\ y(L)=T_L\\ y'(L)=-jky(L) \end{align} Sobre el caso, lo primero que diferenciar la solución general: \begin{equation} y'(x)=-jk c_1 e^{-jk x}+jk c_2 e^{+jk x}+\frac{j k}{2} \int_0^L\frac{d}{dx}\left(e^{j k |x-t|} \right) \eta(t) y(t) dt \end{equation} Ahora he considerado dos casos diferentes: whel $t-x>0$ (a la izquierda) y $t-x<0$ (a la derecha). Para $t-x>0$ me puede escribir: \begin{equation} y'(x)=-jk c_1 e^{-jk x}+jk c_2 e^{+jk x}-jk U(x) \end{equation} donde \begin{equation} U(x)= \int_0^L\frac{d}{dx}\left(e^{-j k (x-t)} \right) \eta(t) y(t) dt \end{equation} Entonces \begin{equation} y'(x)=-jk \left( c_1 e^{-jk x}- c_2 e^{+jk x} + U(x) \right) \end{equation} Mientras que al $t-x<0$ me han: \begin{equation} y'(x)=-jk \left( c_1 e^{-jk x}- c_2 e^{+jk x}- K(x) \right) \end{equation} donde \begin{equation} K(x)= \int_0^L\frac{d}{dx}\left(e^{j k (x-t)} \right) \eta(t) y(t) dt \end{equation} Las condiciones de frontera en $x=0$ corresponden al caso $t-x>0$, mientras que las condiciones de frontera en $x=L$ corresponden al caso $t-x>0$. Para $x=0$ hemos \begin{align} y(0)=c_1+c_2+U(0)\\ y'(0)=-jk(c_1-c_2+U(0))\\ \end{align} De modo que $c_2=0$. Repitiendo el mismo cálculo en $x=L$ es posible determinar que $c_1=e^{jkL}$. Luego la solución es: \begin{equation} y(x)=e^{j k(L- x)}+\frac{j k}{2} \int_0^Le^{j k |x-t|} \eta(t) y(t) dt \end{equation} Ahora el caso en la figura B. aquí es donde no estoy seguro. De acuerdo a la imagen $e^{-jkx}$ es el avance de onda que se propaga. El Verde de las funciones a para $x>L$: \begin{equation} \begin{cases} y_1(x)=C_1 e^{-jkx}\\ y_1(L)=A' \end{casos} \end{equation} Mientras que para $x<0$: \begin{equation} \begin{cases} y_2(x)=c_2 e^{jkx}\\ y_2(0)=B' \end{casos} \end{equation} Entonces \begin{equation} \begin{cases} y_1(L)=c_1 e^{-jkL}=A' & \Rightarrow y_1(x)=A' e^{jk(L-x)}\\ y_2(0)=c_2=B' & \Rightarrow y_2(x)=B' e^{jkx} \end{casos} \end{equation} El Wronskian es \begin{equation} W= \begin{vmatrix} A' e^{jk(L-x)} & B' e^{jkx}\\ -jk A' e^{jk(L-x)} & jk B' e^{jkx}\\ \end{vmatrix} =2 jk a'B' e^{jkL} \end{equation} De modo que la función de Green es \begin{equation} G(x,t)= \begin{cases} \frac{A' e^{jk(L-x)} B' e^{jkt}}{2 jk A'B' e^{jkL}}\\ \frac{A' e^{jk(L-t)} B' e^{jkx}}{2 jk A'B' e^{jkL}}\\ \end{casos} \end{equation} Lo que se reduce a \begin{equation} G(x,t)=\frac{1}{2jk} e^{jk|t-x|} \end{equation} De modo que la solución de la ecuación diferencial para el caso de la figura B es \begin{equation} y(x)=c_1 e^{-j k x}+c_2 e^{j k x}+\frac{j k}{2} \int_0^Le^{j k |t-x|} \eta(t) y(t) dt \end{equation}
