Sé que esta es una pregunta frecuente, de veras. Es sólo que cada prueba requiere el uso de grupos de Automorfismos de los que se nos fueron apenas enseñado. Yo no puedo empezar a aprender todo acerca de Automorfismos por mí (no puedo decir cuán lejos para aprender acerca de él) durante no sé cuánto es necesario si no nos enseña acerca de. Agradecería que si usted me podría ayudar sortear esos pruebas de que el uso de la autumorphisms. Gracias.
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Nicky Hekster
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Deje $\{P\}=Syl_3(G)$. Desde $|P|=9=3^2$ (el cuadrado de un primo), $P$ debe ser abelian. Sugerencias:
(1) el Estudio de la N/C Teorema. Observar que $P \subseteq C_G(P) \subseteq G=N_G(P)$. Por lo tanto $G/C_G(P)$ incrusta homomorphically en $Aut(P)$.
(2) tenga en cuenta que $Aut(P) \cong C_6$ o $\cong GL(2,3)$. Por lo tanto $|Aut(P)|$ divide $6$ o $48$, lo $|G/C_G(P)|$ divide a estos números, así como de $5 \cdot 7$.
(3) a la Conclusión de que $G=C_G(P)$$P \subseteq Z(G)$, el centro de $G$.
(4) Utilice el hecho de que sólo hay un grupo de orden $5 \cdot 7$, y que tiene que ser $\cong C_{35}$.
(5) Utilice el hecho general de que el si $G/Z(G)$ es cíclica y, a continuación, $G$ debe ser abelian.
Nicky Hekster
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OK, sin automorfismos: poner $\{P\}=Syl_3(G)$, $Q \in Syl_5(G)$ y $R \in Syl_7(G)$. Observar que $G/P \cong C_{35}$ (se los dejo a ustedes para probar esto con nuevo Sylow de la Teoría). Por lo tanto $QP \unlhd G$, ya que el $QP/P \in Syl_5(G/P)$. Es más, es fácil ver que $Q$ es la única Sylow $5$-subgrupo de $QP$. Por lo tanto $Q \text{ char } QP \unlhd G$, lo $Q$ es normal en $G$. El mismo razonamiento se aplica a $R$. A continuación,$G=PQR$, normal de tres subgrupos que mutuamente se cruzan trivial, ya que sus órdenes son relativamente primos. Por lo tanto $G \equiv P \times Q \times R$ y es abelian.
