Discretos racional rotaciones en las dos dimensiones de toro

Question

Es bien conocido (del Teorema de Kronecker) que "irracional rotaciones" son densos en $[0,1)$. Es decir, el conjunto $$ \{ x+nr\mod 1 : n \in \mathbb{N} \} $$ es denso en $[0,1)$, siempre que $r$ es irracional. Este teorema es relativamente fácil de probar.

En las dos dimensiones torus $\mathbb{T}=[0,1)\times[0,1)$ (con bordes opuestos identificado), el siguiente resultado es true. El conjunto $$ \{ (x+nr \mod 1,x+nr \mod 1) \in \mathbb{T} : n \in \mathbb{N} \} $$ es denso en $\mathbb{T}$ si y sólo si $\{r, r', 1\}$ son racionalmente independiente (es decir, si existen enteros $a$ $b$ tal que $ar+br'$ es un número entero, entonces $a=b=0$). He visto una muy complicada prueba de ello. Hay un "fácil" la prueba? Es decir, algo que se podría asignar para que la lectura de pregrado (dicen que un senior)?

Answer 1

He visto en mi humilde opinión, bastante accesible pruebas de este hecho en la teoría de números libros. Cuando yo era un avanzado chico de secundaria (yo había encontrado mi vocación), vi a una prueba de ello con toques en Joe Roberts libro precioso, la composición tipográfica en caligráfico de la fuente, de la Primaria a la Teoría de números - Un Enfoque Orientado al Problema. Si mal no recuerdo me las arreglé para seguir la prueba que allí se indican, pero este fue uno de los más de gravar a los problemas. Como estudiante he tenido el placer de dar una charla sobre esto en un seminario que se va a través de Apostol de Modular las Funciones y Automorphic Formas en la Teoría de números. Es en uno de los finales de los capítulos, y recuerdo disfrutando de ese capítulo y los ejercicios en el mismo inmensamente.

No sé si esto es útil para usted. Esto ciertamente no es demasiado exigente para un estudiante universitario en el que no depende de ningún profunda de la teoría. Pero yo no asignar a alguien que no ha mostrado un interés real en la forma de pensar las cosas a través de él/ella. Usted conoce mejor a sus clientes.