Es el espacio de Baire $\sigma$ -¿Compacto?

Question

Es el espacio de Baire $\sigma$ -¿Compacto?

En Espacio de Baire es el conjunto $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ de todas las secuencias de números naturales bajo la topología del producto tomando $\mathbb{N}$ ser discreto. Es un espacio métrico completo por ejemplo, con la métrica $d ( x , y ) = \frac{1}{n+1}$ donde $n$ es menor que $x(n) \neq y(n)$ .

Un espacio topológico $X$ se llama $\sigma$ -compacto si es la unión contable de subconjuntos compactos.

Answer 1

$\omega^\omega$ no es σ-compacta.

Obsérvese en primer lugar que todo subconjunto compacto de $\omega^\omega$ tiene el interior vacío; es decir, no son densos en ninguna parte. (Si $K \subseteq \omega^\omega$ es compacta con interior no vacío, entonces existe una secuencia finita $s = (\ell_0, \ldots , \ell_n )$ en $\omega$ tal que $[s] = \{ x \in \omega^\omega : x\text{ extends }s \}$ es un subconjunto de $K$ . En $[s]$ es clopen debe ser compacto a su vez. Sin embargo, podemos escribir $[s]$ como $\prod_{i \in \omega} A_i$ donde $A_i = \{ \ell_i \}$ para $i \leq n$ y $A_i = \omega$ para $i > n$ y puesto que $\omega$ no es compacto se deduce que $[s]$ no puede ser compacta, ¡una contradicción!)

Como espacio métrico completo (por tanto a Baire), el Teorema de la Categoría Baire implica entonces que el El espacio de Baire no puede ser σ-compacto.

Answer 2

$\omega^\omega$ no es $\sigma$ -compacto. Se trata de un argumento de tipo diagonal: Supongamos que $\omega^\omega = \bigcup_n K_n$ donde el $K_n$ son compactas. Para cada $n$ para cada proyección $\pi_m: \omega^\omega \to \omega$ el conjunto $\pi_m[K_n]$ es compacta, por lo que existe $N(n,m) \in \omega$ tal que $\pi_m[K_n] \subseteq [0,N(n,m)]$ .

Ahora el punto $p \in \omega^\omega$ definido por $p_m = N(m,m)+1$ no se encuentra en ningún $K_n$ ya que si $p \in K_m$ para algunos $m$ entonces $p_m \in \pi_m[K_m] \subseteq [0, N(m,m)]$ mientras que $p_m$ es uno más grande que ese.