Sí. Ambos universal cubre central y extensiones incurridos durante la cuantización provienen de un mismo concepto fundamental:
Representaciones proyectivas
Si $\mathcal{H}$ es nuestro espacio de Hilbert de los estados, distintos estados físicos no son vectores $\psi\in\mathcal{H}$, pero los rayos, ya que la multiplicación por un número complejo no cambia la expectativa de valores dados por la regla
$$ \langle A\rangle_\psi = \frac{\langle \psi \vert A \vert \psi \rangle}{\langle \psi \vert \psi \rangle}$$
ni las probabilidades de transición de
$$ P(\lvert \psi \rangle \to \lvert \phi \rangle) = \frac{\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle\rvert^2}{\langle \phi \vert \phi \rangle\langle \psi \vert \psi \rangle}$$
El espacio a considerar, en la que cada elemento del espacio es, de hecho, una física distinta del estado, es el proyectiva espacio de Hilbert
$$ \mathrm{P}\mathcal{H} := \mathcal{H} /\sim$$
$$ \lvert \psi \rangle \sim \lvert \phi \rangle :\Leftrightarrow \exists c\in\mathbb{C}: \lvert \psi \rangle = c\lvert\phi\rangle$$
que es sólo una forma elegante de escribir que todos los complejos ray ha sido reducido a un punto. Por el teorema de Wigner, cada simetría debe tener algunos, no necesariamente única, unitaria representación $\rho : G \to \mathrm{U}(\mathcal{H})$. Ya que tiene que descender a una bien definida ray transformación, la acción de la simetría es administrado por un grupo de homomorphism en la proyectiva grupo unitario $G \to \mathrm{PU}(\mathcal{H})$, que se encuentra en una secuencia exacta
$$ 1 \to \mathrm{U}(1) \to \mathrm{U}(\mathcal{H}) \to \mathrm{PU}(\mathcal{H}) \to 1$$
donde $\mathrm{U}(1)$ representa el "grupo de fases" que se reparte al pasar a la proyectiva del espacio. Ya es importante notar que esto significa $\mathrm{U}(\mathcal{H})$ es una extensión central de $\mathrm{PU}(\mathcal{H})$$\mathrm{U}(1)$.
Para clasificar todos los posibles quantumly permitido que las representaciones de un grupo de simetría $G$, tenemos que entender que el permitido Mentir grupo homomorphisms $\sigma : G\to\mathrm{PU}(\mathcal{H})$. Desde lineal representaciones son más agradables para trabajar con estos extraños proyectivas de las cosas, vamos a ver
La clasificación de las representaciones unitaria lineal representaciones
Para cualquier $g\in G$, elija un representante de $\Sigma(g)\in\mathrm{U}(\mathcal{H})$ por cada $\sigma(g)\in\mathrm{PU}(\mathcal{H})$. Esta opción es altamente no-singular, y es esencialmente responsable de cómo la extensión central aparece. Ahora, ya que para cualquier $g,h\in G$ tenemos $\sigma(g)\sigma(h) = \sigma(gh)$, las elecciones de los representantes que deben cumplir
$$ \Sigma(g)\Sigma(h) = C(g,h)\Sigma(gh)$$
para algunos $C : G\times G\to\mathrm{U}(1)$. La aplicación de la asociatividad a $\Sigma(g)\Sigma(h)\Sigma(k)$ da el requisito de consistencia
$$ C(g,hk)C(h,k) = C(g,h)C(gh,k)\tag{1}$$
que también se llama el cocycle identidad. Para cualquier otra opción $\Sigma'$, debemos tener
$$ \Sigma'(g) = f(g)\Sigma(g) $$
para algunos $f : G \to \mathrm{U}(1)$. $\Sigma'$ tiene asociado un $C'$, y así obtenemos
$$ C'(g,h)\Sigma'(gh) = \Sigma'(g)\Sigma'(h) = f(g)f(h)C(g,h)f(gh)^{-1}\Sigma'(gh)$$
que los rendimientos de la consistencia requisito
$$ C'(g,h)f(gh) = f(g)f(h)C(g,h)\tag{2}$$
Por lo tanto, las representaciones se clasifican dando a la elección de los representantes unitarios $\Sigma$, pero los que están relacionados por $(2)$ dar la misma representación proyectiva. Formalmente, el conjunto
$$ H^2(G,\mathrm{U}(1)) := \{C : G\times G \to \mathrm{U}(1)\mid C \text{ fulfills } (1)\} / \sim$$
$$ C \sim C' :\Leftrightarrow \exists f : (2) \text{ holds }$$
clasifica las representaciones proyectivas de $G$. Queremos usar para la construcción de una representación unitaria de algo que clasifica la representación proyectiva:
Definir el semi-producto directo de $G_C := G \ltimes_C \mathrm{U}(1)$ por cualquier representante de la $C$ de un elemento en $H^2(G,\mathrm{U}(1)$ al dotar a la Cartesion producto $G \times \mathrm{U}(1)$ con la multiplicación
$$ (g,\alpha)\cdot(h,\beta) := (gh,\alpha\beta C(g,h))$$
Uno puede comprobar que se trata de una central de extensión, es decir, la imagen de $\mathrm{U}(1)\to G \ltimes_C\mathrm{U}(1)$ está en el centro de la $G_C$, y
$$ 1 \to \mathrm{U}(1) \to G_C \to G \to 1$$
es exacto. Para cualquier representación proyectiva $\sigma$, fix $\Sigma,C$ y definir la representación lineal
$$ \sigma_C : G_C \to \mathrm{U}(\mathcal{H}), (g,\alpha) \mapsto \alpha\Sigma(g)$$
Por el contrario, cada representación unitaria $\rho$ algunos $G_C$ da un par de $\Sigma,C$$\Sigma(g) = \alpha^{-1}\rho(g,\alpha)$.
Por lo tanto, las representaciones son en bijection lineal de las representaciones de la central de extensiones.
En el nivel de las álgebras de Lie, tenemos $\mathfrak{u}(\mathcal{H}) = \mathfrak{pu}(\mathcal{H})\oplus\mathbb{R}$, donde la base de elemento $\mathrm{i}$ $\mathbb{R}$ genera múltiplos de la identidad de $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mathrm{Id}$. Omitimos el $\mathrm{Id}$ en los siguientes, siempre que un número real se añade a un elemento de la Mentira de álgebra, se supone para ser multiplicado por ella.
La repetición de los argumentos anteriores para las álgebras de Lie, tenemos que la representación proyectiva $\sigma : G \to \mathrm{PU}(\mathcal{H})$ induce una representación de la Mentira álgebra $\phi : \mathfrak{g}\to\mathfrak{pu}(\mathcal{H})$. Una elección de los representantes de la $\Phi$ $\mathfrak{u}(H)$ clasifica un proyectiva representación junto con un elemento $\theta$ en
$$ H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R}) := \{\theta : \mathfrak{g}\times\mathfrak{g} \to \mathbb{R}\mid \text{ fulfills } (1') \text{ and } \theta(u,v) = -\theta(v,u)\} / \sim$$
$$ \theta \sim \theta' :\Leftrightarrow \exists (b : \mathfrak{g}\to\mathbb{R}) :\theta'(u,v) = \theta(u,v) + b([u,v])$$
con la condición de consistencia
$$ \theta([u,v],w) + \theta ([w,u],v) + \theta([v,w],u) = 0 \tag{1'}$$
que $\theta$ respeta la identidad de Jacobi, esencialmente.
Por lo tanto, una representación proyectiva de $\mathfrak{g}$ es clasificado por $\Phi$ junto con un $\theta\in H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})$. Aquí, la central de extensión se define por $\mathfrak{g}_\theta := \mathfrak{g}\oplus\mathbb{R}$ con la Mentira de soporte
$$ [u\oplus y,v\oplus z] = [u,v]\oplus\theta(u,v)$$
y obtenemos una representación lineal de a $\mathfrak{u}(\mathcal{H})$ por
$$ \phi_\theta(u\oplus z) := \Phi(u) + a$$
De nuevo, se obtiene un bijection entre las representaciones de $\mathfrak{g}$ y los de su central extensiones $\mathfrak{g}_\theta$.
Universal cubre, central de cargos
Por fin estamos en la posición para decidir qué representaciones de $G$ debemos permitir que quantumly. Podemos distinguir tres casos:
No hay no-trivial central extensiones de cualquiera de las $\mathfrak{g}$ o $G$. En este caso, todas las representaciones de $G$ ya están dadas por las representaciones lineales de $G$. Este es el caso, por ejemplo,$\mathrm{SU}(n)$.
No hay no-trivial central extensiones de $\mathfrak{g}$, pero no son discretos central extensiones de $G$ $\mathbb{Z}_n$ en lugar de $\mathrm{U}(1)$. Aquellos que, evidentemente, también descender a las representaciones de $G$. Central extensiones de Mentira grupos por grupos discretos son apenas cubriendo grupos de ellos, debido a la universalización de la cobertura $\overline{G}$ da el grupo $G$ como el cociente $\overline{G}/\Gamma$ por un discreto central subgrupo $\Gamma$ isomorfo al grupo fundamental de la cubierta de grupo. De este modo conseguimos que todas las representaciones de $G$ se dan por lineal de las representaciones de la universalización de la cobertura. Hay un centro de cargos de ocurrir. Este es el caso, por ejemplo,$\mathrm{SO}(n)$.
Hay no trivial de la central de extensiones de $\mathfrak{g}$, y, en consecuencia, también de $G$. Si el elemento $\theta\in H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})$ no es cero, hay una central de carga en el generador de la $\oplus\mathbb{R}$$\mathfrak{g}_\theta$, o, equivalentemente, la conserva de carga pertenecientes a la central subgrupo $\mathrm{U}(1)\subset G_C$. Esto sucede por la Witt álgebra, donde no equivalentes $\theta(L_m,L_n) = \frac{c}{12}(m^3 - m)\delta_{m,-n}$ se clasifican por números reales $c\in \mathbb{R}$.
