la justificación de un límite

Question

Me encontré con algo muy interesante, cuando se intenta diferenciar $F(x) = c$.

Considere la posibilidad de: $\lim_{x→0}\frac0x$.

Entiendo que para cualquier $x$, no importa cuán increíblemente pequeño, tendremos $0$ como el cociente. Pero no cambian las cosas cuando uno toma los asuntos de infinitesimals? I. e. ¿por qué es la función de $\frac0x = f(x)$, no indefinido en $x=0$?

Te agradecería un fuerte argumento lógico de por qué el límite de estancias en $0$.

Answer 1

Los límites no son acerca de un valor en un punto, pero acerca de los valores acercando a ese punto.

I. e. ¿por qué es la función de $\frac0x = f(x)$, no indefinido en $x=0$?

Se está definida en ese punto. Sin embargo, su "barrio" se define, y eso es lo que el límite de da.

Por lo tanto $\lim_{x\to0}\frac0x=0$ significa que $x$ aproxima $0$ desde ambos lados, se obtiene el mismo valor, $0$, el límite debe ser definido desde ambos lados y la igualdad, es decir, la función es continua allí, $\lim_{x\to0^-}\frac0x=\lim_{x\to0^+}\frac0x=\lim_{x\to0}\frac0x=0$.

Editar:

Esta función ($f(x)=\frac0x$), por igual $\frac1x$, es continua en su dominio, $\mathbb R\setminus\{0\}$. (no puede realmente ser continuo para $x=0$, debido a $0$ está fuera del dominio) Y así veo la confusión, como $\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$. Uno podría ingenuamente piensa que esto es debido a que $\frac10=\infty$, pero que es (si se toma literalmente) fuera de la definición estándar de los números reales, y en cuanto a los límites, un abuso de notación para $\lim_{x\to0^+}\frac1x$. Sin saberlo, uno podría haber esperado $\lim_{x\to0}\frac0x$ a ser una cosa de ese tipo ($\infty$, o al menos undefinition del límite), pero como he dicho al principio, que no es lo que los límites se acerca.

Además de lo que he dicho, que me iba a incluir algo con la $(\varepsilon,\delta)$-definición de los límites, pero no sé muy bien y es bastante confuso. Así que, yo voy a seguir el inicial infinitesimal espíritu de Cálculo, ahora presente en el más intuitivo No estándar de análisis. Sabemos $\forall x\in\mathbb R\setminus\{0\}, \frac0x=0$. Imagine $x$ es un número muy pequeño. No importa si $x$ es positivo o negativo, y no importa cuán pequeño, $\frac0x$$0$. Eso significa que la declaró de propiedad es extensible más allá de $\mathbb R$. El límite es esencialmente otra interpretación de que, negando los números menores que todos los reales mediante el uso de números sin un valor fijo ($x\to0$ en lugar de fijo infinitesimal $x$). Lo siento por no añadir un formal teórico colocando a este, sin embargo, voy a tratar de hacerlo lo antes posible.

Answer 2

Tenga en cuenta que la escritura de $f(x) = \frac0x$ resultados en $f(0) = \frac00$ que es indefinido. Sin embargo, la singularidad de $f$ es bueno en la forma en que se puede estar continuamente definido por $f(0) := 0$ (nota: los dos puntos para definir el valor). Un límite es exactamente este concepto: ¿Cuál es el valor de $f(x)$ al $x$ procede arbitrariamente cerca de $0$, pero no igual a $0$. La declaración de $$\lim_{x\to 0} \frac0x = 0$$ Significa exactamente eso, y no, como se podría pensar $\frac00 = 0$. El concepto erróneo es que $$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \neq \frac{\lim_{x\to x_0} f(x)}{\lim_{x\to x_0} g(x)}$$ Para general $f,g$ (incluso si ambos se continua!). Esto sólo funciona al $\lim_{x\to x_0} g(x) \neq 0$, que no es el caso de tu ejemplo.

Answer 3

Usted está en el hecho de considerar la función $f: \mathbb R \setminus \{0\} \mapsto \mathbb R$ que se define $f(x) = \frac 0x$, por lo que me igualdad de $0$ en todo su dominio. Veamos límite de $\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)$. La función es idéntica a la igualdad de $0$ en cada intervalo abierto $(0,\varepsilon)$$\varepsilon>0$. Por lo tanto el lado derecho límite es igual a $0$. Por analogía, también tenemos $\lim \limits_{x \rightarrow 0^-} f(x)=0$. Si existe límite de $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ es ahora una cuestión de convención. De acuerdo a lo que se enseña no tiene sentido hablar de un límite de la función fuera de su dominio. Pero si usted piensa lo contrario, ya que ambos límites laterales existen y son iguales a $0$ el límite existe y es igual a $0$.

Answer 4

La razón es que si miras en la función de $f(x,y)=y/x$ luego cuando te acercas a $(0,0)$ esto debe ser invariante a la ruta de acceso que usted toma en su caso usted camina a lo largo de la ruta de acceso donde se $y=0$ (constante$0$), pero cuando se aproxima sobre el camino de $y=x$ entonces es constante $1$. Así que podemos decir que no está definido.

Answer 5

Cuando tratamos con límites por primera vez, vemos el resultado de la parte después de la señal de $\lim$. En este caso tenemos a $\frac{0}{x}=0$. Que tenemos $\lim_{x\to0}{\frac{0}{x}}=\lim_{x\to0}0=0$.