Para qué valores de a $\gamma\geq 0$ hace la integral impropia $$\int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t^\gamma} \mathrm{d}t$$ convergen?
Con el fin de evitar dos "puntos críticos" $0$ $+\infty$ he pensado que sería más fácil para probar la convergencia de la suma (es esto coherente?): $$ \int_0^1 \frac{\sin(t)}{t^\gamma}\mathrm{d}t + \int_1^\infty \frac{\sin(t)}{t^\gamma}\mathrm{d}t. $$ Para la segunda integral converge si $\gamma > 1$ (comparación) y también converge si $0 <\gamma \leq 1$. Estoy atascado en probar la última parte y el hecho de que la primera integral converge para $\gamma < 2$. Cualquier ayuda se agradece. Gracias de antemano.
PD: he comprobado las respuestas para esta pregunta , pero no me gustaría resolver esta integral el uso de $(n\pi,(n+1)\pi)$ intervalos.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Yo no iba a responder, pero las respuestas anteriores me dejó un poco ansioso por $t$ cerca de $\infty$.
Integrar por partes para obtener $$ \int_1^\infty\frac{\sin(t)}{t^\gamma}\,\mathrm{d}t =\left.\frac{-\cos(t)}{t^\gamma}\right]_1^\infty -\gamma\int_1^\infty\frac{\cos(t)}{t^{\gamma+1}}\,\mathrm{d}t $$ y ambos convergen en $\infty$ al $\gamma\gt0$.
Por supuesto, como las respuestas anteriores han dicho $$ \int_0^1\frac{\sin(t)}{t^\gamma}\,\mathrm{d}t $$ converge al $t\lt2$ en comparación con $\dfrac{t}{t^\gamma}=\dfrac1{t^{\gamma-1}}$.
Esto muestra que el intervalo de convergencia es $(0,2)$.
De manera informal, $ \sin x \approx x $ cerca de $ 0 $. Por lo tanto, $\displaystyle \int_0^1 \frac{\sin x}{x^\gamma} \ dx $ converge si $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma - 1}} \ dx $ que se produce por $ \gamma < 2 $.
Asimismo, para valores grandes de $ x $, $ \sin x $ oscila entre negativo y positivo. Mientras que el numerador es creciente, la suma de estas áreas es una corriente alterna de la serie cuyos términos son monótonamente decreciente a cero en valor absoluto y por lo que se reunirán si $ \gamma > 0 $ por la Alternancia de la Serie de Prueba.
Por lo tanto, el intervalo de convergencia es $ (0, 2) $.
