¿Cuál es la cobertura universal de SL(2,R)?

Question

Wikipedia [1] dice:

Para $n \geq 2$, la cobertura universal de la especial lineales grupo SL($n, \mathbb{R}$) no es un grupo de matrices (es decir, no tiene fieles finito-dimensional de las representaciones).

¿A qué grupo es, entonces, por ejemplo, para $n=2$? ¿Tiene un nombre? ¿Qué índice es SL($2, \mathbb{R}$) tienen en ella?

Answer 1

La máxima compacto subgrupo de $SL(n,\mathbb{R})$$SO(n)$. Iwasawa descomposición nos dice que una suave colector, $SL(n,\mathbb{R}) \cong SO(n)\times \mathbb{E}^k$ (segundo factor es que algunos $k$-dimensional espacio Euclidiano), por lo $$\pi_1(SL(n,\mathbb{R})) = \pi_1(SO(n)) =\begin{cases} \mathbb{Z}_2, & n\geq 3; \\ \mathbb{Z}, & n=2.\end{cases}$$
Esto implica que $\widetilde{SL}(n,\mathbb{R})$ es un dos-toldo de cubierta para $n\geq 3$ y un infinito cíclica de la cubierta para $n = 2$.

Como para qué grupo es, bueno, es la universalización de la cobertura de $SL(n,\mathbb{R})$. Ya que no es una matriz de grupo, usted probablemente no ha encontrado antes. Usted sólo tendrá que tomar en sus propios términos.

Para una analogía, esto es como preguntar, "¿Qué número es la raíz cuadrada de los dos?" Bueno, es $\sqrt{2}$. Simplemente no hemos cumplido antes de lo que la única manera de saber que es debido a $\sqrt{2}\sqrt{2} = 2.$ Mismo aquí: $\widetilde{SL}(n,\mathbb{R})$ es el grupo en el que simplemente se conecta y cubre $SL(n,\mathbb{R})$. Que es su característica definitoria.

Answer 2

Juan Rawnsley del papel "En el universal que cubre el grupo de la real simpléctica grupo" (Diario de la Geometría y de la Física 62 (2012), 2044-2058) describe la universalización de la cobertura $\tilde{Sp}(2n,{\mathbb R})$ $Sp(2n,{\mathbb R})$ cualquier $n \geq 1$.