integral doble con sustitución

Question

1.

Encontrar el área integral de $ \ f(x,y)=x^2 + y^2 \ $ $ \ D=\{(x,y)\in\Bbb{R}|0\le x-2y\le2, |3x-y|\le1\} \ $ cuando hacemos una sustitución de $ \ u=x-2y \ $ $ \ v=3x-y \ $

Hice los cálculos como este. ¿Le parece bien?

$x=\frac 15(2v-u)$ $y=\frac 15(v-3u)$

$dxdy=\frac{1}{\begin{vmatrix}1&-2\\3&-1\end{vmatrix}}dudv=\frac 15dudv$

$$\frac 15 \int_{-1}^{1}\int_0^2\frac{1}{25}(2v-u)^2+\frac{1}{25}(v-3u)^2dudv=\frac {12}{25} $$

2.

También similar. $$\int_{-1}^0 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^0 \frac{2}{1+\sqrt{x^2+y^2}}dxdy$$

Creo que debería ir a coordenadas polares y $x=-\sqrt{1-x^2}$$x=-\frac{1}{\sqrt2}$$x=0$. A continuación, $\phi\in[5\pi/4, 3\pi/2]$ o debido a la simetría $\phi\in[0, \pi/4]$ $$\int_{0}^{\pi/4} \int_0^1 \frac{2r}{1+r}drd\phi$$

Y ahora se acaba de integrar?

Answer 1

Confirmo el resultado de la primera integral (que se vuelve a requerir más de la escritura que aparece por primera vez). El uso de los vértices del paralelogramo, podemos calcular su área como $ \ | \ \langle \ \frac{2}{5} , \frac{6}{5} \ \rangle \ \times \ \langle \ \frac{4}{5} , \frac{2}{5} \ \rangle \ | \ = \ \frac{20}{25} \ = \ \frac{4}{5} \ $ . Dado que el integrando de la función es menor que 1 en la mayor parte del dominio, es razonable que se obtiene un tamaño algo menor valor de la integral.

Para #2, a juzgar por los límites de integración para su integral en coordenadas Cartesianas, el dominio es el tercer cuadrante del sector de la circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Así, en coordenadas polares, la integración ejecuta a través de los intervalos de $ \ [0,1] \ $ para radio y $ \ [\pi, \frac{3 \pi}{2}] \ $ para el ángulo. El área integral es entonces

$$\int_{\pi}^{3 \pi/2} \int_0^1 \ \frac{2r}{1+r} \ \ dr \ d\phi \ \ = \ \ \int_{\pi}^{3 \pi/2} d\phi \ \ \int_0^1 \ 2 \ - \ \frac{2}{1+r} \ \ dr \ $$

$$ \frac{\pi}{2} \ \cdot \ 2 \ \cdot \ ( \ r \ - \ \ln |1+r| \ ) \ \vert_0^1 \ = \ \pi \ ( \ 1 \ - \ \ln 2 \ ) \ \approx \ 0.31 \pi \ \ . $$

El área del dominio es $ \ \frac{\pi}{4} \ , $ y el valor del integrando la función en el cuarto círculo es sólo un poco mayor que 1 en la mayor parte de la zona, por lo que este resultado de la integración es creíble.