Como se mencionó en la respuesta anterior, la de Atiyah-Singer índice teorema es una excelente respuesta a su pregunta. Me gustaría convencerte de que, en un sentido, es probablemente la única respuesta a su pregunta. Afortunadamente, de que un teorema admite muchas de las aplicaciones, generalizaciones y elaboraciones que se convierte casi en un área de las matemáticas en sí mismo (especialmente cuando se infunde con las herramientas de la C*-álgebra teoría).
Mi primera observación es que la K-teoría es inherentemente global de la herramienta - su poder radica en el hecho de que está construido, pero insensible a los detalles de la geometría local. Por lo que entiendo acerca de la teoría de la PDE muchas de las preguntas interesantes que viven en abrir las bolas en el espacio Euclidiano, sobre el cual topología algebraica, en general, tiene poco nuevo que aportar. Incluso cuando se considera el valor de límite de problemas donde la geometría se vuelve un poco más interesante, los desafíos son generalmente locales en el límite (es decir, la preocupación es con suavidad, no muy interesante estructura global).
Una vez que hemos aceptado que estamos buscando una respuesta global a la pregunta, es natural preguntarse: ¿hay un sentido en el que del PDE a organizarse en una de pleno derecho (co)homología de la teoría? Esto, después de todo, es la manera en que la topología normalmente interactúa con otras partes de las matemáticas: uno empieza con objetos cuya estructura se quiere globalizar (por ejemplo, incrustado bucles, formas diferenciales, vector de paquetes...) y tiene como objetivo construir algebraicas invariantes de los objetos. En el caso de la PDE la respuesta es K-homología, una generalización de la teoría de la homología de la categoría de los colectores con la propiedad de que cada primer orden lineal, elíptica operador $D$ en un colector $M$ da lugar a una clase de $[D]$$K_*(M)$. K-homología, como el nombre sugiere, es la homología de la teoría que es, naturalmente, doble a la K-teoría, considerada como una (generalizada) cohomology de la teoría en la categoría de los colectores.
Así que la pregunta es: ¿qué podemos hacer con K-homología? La respuesta es que uno puede hacer mucho, pero como con muchas construcciones en topología algebraica muchos de los resultados más interesantes involucrar a los emparejamientos entre homología y cohomology. El más fundamental de vinculación entre el K-homología y la K-teoría, es el llamado índice de emparejamiento, que lleva a un operador elíptico y un vector paquete y escupe el índice de Fredholm de que el operador "torcido" por el paquete. El Atiyah-Singer índice teorema es realmente un teorema acerca de las propiedades topológicas de esta pareja, y, en consecuencia, desempeña un papel central en las aplicaciones de K-homología.
