Explique por qué $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm dx = \ln|f(x)|+C$

Question

Explique por qué
$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm dx = \ln|f(x)|+C.$$
Gracias.

Answer 1

Por el Regla de la cadena $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\big(\ln|f(x)|+C\big)=\frac{1}{f(x)}\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)} $$

Answer 2

Diferenciar RHS: se obtiene $\frac{d}{dx}(\log |f(x)|+C)=\frac{d}{dx}(\log |f(x)|)=\frac{1}{|f(x)|}\cdot\frac{d}{dx}|f(x)|=\frac{f'(x)}{|f(x)|}\cdot Sgn(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}$ , donde $Sgn(f)=1$ donde $f\geq 0$ , $Sgn(f)=-1$ donde $f<0$