Cómo solucionar para $x$ algebraicamente, dado que el $x^2 = 4- \sqrt{12}$

Question

Esta es una pregunta que me han masticado por un par de días, pero no hemos resuelto todavía. El valor de $x^2$ es dado como $4-\sqrt{12}$ y, a continuación, el resultado se da como $±( 1-\sqrt{3})$. ¿Cómo puedo resolver este problema de manera algebraica, sin previo conocimiento de la respuesta?

Solución a un problema

Answer 1

Dada una expresión como $\sqrt{a\pm\sqrt{b}}$, se puede simplificar a una expresión de la forma $\left|c\pm\sqrt{d}\right|$?

Bien, supongamos que hemos podido. Entonces nos encontraríamos con que

$$ (c\pm\sqrt{d})^2 = \pm\sqrt{b} $$

Llevar a cabo el cuadrado, obtenemos

$$ c^2+d\pm2\sqrt{4c^2d} = \pm\sqrt{b} $$

Por lo tanto, podríamos tratar de equiparar $c^2+d$$a$, e $c^2d$$b/4$. En este caso, tenemos $a = 4$$b = 12$. Podemos encontrar dos números cuya suma es $4$, y cuyo producto es $12/4 = 3$? La respuesta obvia es $1$$3$, y en este caso, $1$ es un cuadrado perfecto, por lo que los hace una buena opción para $c^2$. A continuación,$d = 3$, y tenemos

$$ \sqrt{4-\sqrt{12}} = \left|1-\sqrt{3}\right| = \sqrt{3}-1 $$

Puesto que el valor deseado no está restringido al valor positivo,$1-\sqrt{3}$, también trabajo. (También podríamos haber tenido $c = -1$, pero que sólo los rendimientos $-1+\sqrt{3}$ nuevo).

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Si quieres un algoritmo manera de encontrar dos valores cuya suma es $s$ y cuyo producto es $p$, ten en cuenta que estos dos valores son las raíces de la ecuación cuadrática

$$ x^2-sx+p = 0, $$

Resolver para las raíces, y $c^2$ puede ser cualquier positivo de la raíz, si existe, y $d$ es la otra raíz.

Answer 2

$4-\sqrt{12}=3-2\sqrt3+1=(\sqrt3-1)^2$

Answer 3

De $x^2=4-2\sqrt3$, podemos tomar la raíz cuadrada para obtener el$$x=\pm\sqrt{4-2\sqrt3}\tag1$$

Sin embargo, podemos factor de $(1)$ a$$x^2=4-2\sqrt3\iff (x-1+\sqrt3)(x+1-\sqrt3)=0\tag2$$

Lo que implica que las raíces se $x=\pm\sqrt3\mp1$. Para demostrar $(2)$, podemos emplear una fórmula general para $\sqrt{X\pm Y}$$X,Y\in\mathbb{R}$$X>Y$:

En General El Almacenaje De Identidad:$$\sqrt{X\pm Y}=\sqrt{\dfrac {X+\sqrt{X^2-Y^2}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac {X-\sqrt{X^2-Y^2}}2}\tag3$$

Aquí, tenemos $X=4,Y=2\sqrt3$. Por lo tanto,$$\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{\dfrac {4+\sqrt{16-12}}2}-\sqrt{\dfrac {4-\sqrt{16-12}}2}=\sqrt3-1\tag4$$ Por lo tanto, $(1)$ puede ser expresado como$$x=\pm\sqrt{4-2\sqrt3}=\pm(\sqrt3-1)\tag5$$ Puedes seguir desde aquí?

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Otra manera es asumir$$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=a-\sqrt b\iff 4-2\sqrt3=a^2+b-2a\sqrt b\tag6$$Y resolver el sistema resultante que sigue.

Answer 4

Si desea deducir sin adivinar: $$ (x^2-4)^2 = 12 \Rightarrow x^4-8x^2+16=12 \Leftrightarrow x^4-8x^2+4=0$$ Un polinomio de cuarto grado sin grado impar de términos tiene una única factorización como $$ (x^2+ax+b)(x^2-ax+b) =x^4 +(2b -a^2) x^2 + b^2$$ Encontrar cualquiera de las $b=2, a=\pm \sqrt{12}$ o $b=-2,a=\pm 2$. La primera no da un radical de la querían forma, sino $x^2-2x\pm 2=0$, con soluciones de $x=1-\sqrt{3}$ o $x=-1+\sqrt{3}$ satisfacer las condiciones requeridas.

Answer 5

$$x^2=4-\sqrt{12}$$ La reescritura de la raíz cuadrada: $$x^2=4-\sqrt{4\cdot3}$$ $$x^2=4-2\sqrt{3}$$ Reescribir (utilizando la fórmula binominal): $$x^2=3-2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}-1)^2$$ Tomar la raíz cuadrada: $$x_1=(\sqrt{3}-1)$$ $$x_2=(1-\sqrt{3})$$

En general, usted debe primero buscar las raíces cuadradas con no squarefree radicales, porque siempre se puede factor de la plaza número.
También si se toma la raíz cuadrada de una suma intente volver a escribir como un producto (fórmula binominal).