Cómo encontrar la primaria de la descomposición de este ideal? ¿Cómo encaja esto dentro de la algebro-imagen geométrica?

Question

Soy nuevo en el clásico de la geometría algebraica y estoy tratando de jugar con sus objetos y hacer ejemplos antes de la inmersión en la teoría en sí misma, tratando de ver lo que está pasando.

Por ejemplo, considere la variedad algebraica definida sobre $\mathbb{R}$ por la ecuación \begin{equation} f(x,y)=y^{3}+2x^{2}y-4y-x=0. \end{equation}

De lo que he entendido hasta ahora, se investiga el 'sub-objetos' de esta variedad algebraica mirando ideales en $\mathbb{R}[x,y]$ que contiene el director ideal $I=(y^{3}+2x^{2}y-4y-x)$. Por ejemplo, la máxima de los ideales de la $\mathbb{R}[x,y]$ contiene $I$ corresponden a la sub-objetos de los puntos de la variedad.

Más generalmente, si $J=(f_{1}(x,y),\dots,f_{n}(x,y))$ es un ideal que contiene a $I$, entonces la solución del sistema de ecuaciones $f_{1}(x,y)=\dots f_{n}(x,y)=0$ da una solución para $f(x,y)=0$, y por lo tanto, este ideal se define un subconjunto de los puntos de la variedad original.

Así, desde la máxima ideales corresponden a los puntos, lo natural es preguntarse qué sucede en el interior de la variedad algebraica para obtener más general el primer ideales o incluso para algún otro tipo de ideales.

Es esto correcto? Recordar que estoy tratando de hacer primero una imagen de lo que la geometría algebraica.

Ahora, desde el álgebra conmutativa tenemos el resultado de que en un Noetherian anillo, uno siempre tiene un mínimo primaria de la descomposición de un ideal. Quiero encontrar la descomposición primaria de esta $I=(y^{3}+2x^{2}y-4y-x)$ a ver cómo esto encaja dentro de la geométrica de la imagen.

¿Cómo puedo hacer eso? Hay algunos algorithmical procedimiento para encontrar una descomposición?

Answer 1

En general:en geometría algebraica $k[X]=k[x_1,...,x_n]$, $$V(I)=\{(a_1,...,a_n)\in k^n; f(a_1,..,a_n)=0 \forall f\in k[X] \}$$ $$I(X)=\{f\in k[X]; f(x_1,...,x_n)=0 \forall (x_1,...,x_n)\in X \}$$

Vamos a ser $I,J$ ideales en $ k[X]$$I \subseteq J$,$V(J) \subseteq V(I)$ . En la pregunta que nos tenemos $I\subseteq J=(x,y)$, $V(J)=(0,0)$ es una solución de $f(x,y)=y^3+2x^2y-4y-x$.

Si $k$ ia una algebraico cerrado, entonces por Hilbert Nullstellensatz teorema tenemos bijections de máxima ideales de $k[X]$ y puntos de $\mathbb A^n_k $ , el primer ideales de $k[X]$ e irreducible de subvariedades de $\mathbb A^n_k$ ,radical ideales de $k[X]$ y subvariedades de $\mathbb A^n_k$ .

pero si $k$ isnot algebraico cerrado, por ejemplo,$\mathbb R$, e $I=(x^2+1)$ es el máximo ideal en $\mathbb R[x]$,$V(I)= \phi$.

En general $J\subseteq I(V(J))=I(X)$ e si $X=X_1 \cup X_2$, $I(X_1\cup X_2)=I(X_1) \cap I(X_2)$

Answer 2

Usted está pidiendo a muchas preguntas. Voy a tratar de dar respuestas cortas:

Por ejemplo, la máxima ideales de ℝ[x,y] que contiene I corresponden a la sub-objetos de los puntos de la variedad: Esto es incorrecto, ya que depende de la Nullstellensatz que sólo posee más de algebraicamente cerrado campos.

Es esto correcto? Recordar que estoy tratando de hacer primero una imagen de lo que la geometría algebraica.: Cómo sobre una parcela de la curva?

Quiero encontrar la descomposición primaria de esta $I=(y^3+2x^2y−4y−x)$ a ver cómo esto encaja dentro de la geométrica de la imagen. La curva es irreductible como una variedad algebraica desde su polinomio genera un alojamiento ideal. Por lo tanto primaria de descomposición no puede decir más acerca de la curva. Sin embargo, la principal descomposición se puede calcular, por ejemplo, con Macaulay2 o Singular.

Finalmente, cuando se está interesado en las preguntas sobre los números reales, usted debe mirar en la geometría algebraica real, que es muy diferente de la clásica geometría algebraica.