Supongamos que nos dan lados $a,b,c,d$ . Necesitamos construir un cuadrilátero cíclico con los lados dados. ¿Cómo podemos hacer eso?
Muchas gracias de antemano.
Saludos.
Respuesta
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Aquí hay una construcción consolidada del ángulo $\alpha$ entre los bordes de la longitud $a$ y $d$ . Como se ha señalado en El artículo del "Cuadrilátero Cíclico" de Wikipedia el ángulo satisface $$\tan\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{s-a}{s-b}\frac{s-d}{s-c}} \tag{$\star$}$$ donde $s := \frac{1}{2}(a+b+c+d)$ es el semiperímetro.
En el diagrama, el círculo sobre $O$ a través de $U$ y $V$ tiene un radio de unidad, y $S$ se construye fácilmente de tal manera que $|OS| = s$ . Círculos de radio $a$ , $b$ , $c$ , $d$ sobre $S$ dar puntos $S_a$ , $S_b$ , $S_c$ , $S_d$ en $OS$ de tal manera que $S_x = s-x$ .
Nos conectamos $S_b$ y $S_c$ (correspondiente a los denominadores de las fracciones en $(\star)$ ) a $U$ y $V$ respectivamente. Paralelamente a las líneas de conexión, pasando a través de $S_a$ y $S_d$ (correspondiente a los numeradores), determinar los puntos $P$ y $Q$ de tal manera que $$|OP| = p := \frac{s-a}{s-b} \qquad |OQ| = q := \frac{s-d}{s-c}$$
El semicírculo con el diámetro $PQ$ se reúne con $\overleftrightarrow{OS}$ en $T$ de tal manera que $$|OT| = \sqrt{pq} = \tan\frac{\alpha}{2} = \tan \angle OUT = \tan \angle OVT$$
Por lo tanto, $\angle UTV = 180^\circ - \alpha$ . A partir de ahí, encontrar $\alpha$ en sí mismo es trivial. (Por supuesto, $180^\circ - \alpha$ es el ángulo entre los bordes de la longitud $b$ y $c$ en el cuadrilátero.) Esta es información suficiente para completar la construcción de todo el cuadrilátero.
