Lévy hacia arriba y teorema de $\mathcal{L}^p$ convergencia.

Question

Lévy ascendente teorema:

Vamos $Y \in \mathcal{L}^1(\Omega, \mathcal{F}, P)$, $(\mathcal{F}_n)_{n=1}^{\infty}$ una filtración de $\mathcal{F}$$\mathcal{F}_{\infty} = \sigma( \bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}_n)$.

Definir $X_n = E[Y | \mathcal{F}_n]$$Z = E[Y | \mathcal{F}_{\infty}]$.

A continuación,$X_n \to Z$.s. (y en $\mathcal{L}^1$)

Ahora para mi problema supongamos que $p > 1$$Y \in \mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal{F}, P)$.
Cómo mostrar que $X_n \to Z$$\mathcal{L}^p$ ?

Pensé acerca de cómo aplicar el teorema de convergencia dominada, pero yo no podía encontrar una razón obligado para $|X_n - Z|^p$.

Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Tenemos que demostrar que si $ X\in\mathbb L^p$$X_n:=\mathbb E[X\mid \mathcal F_n]$,$\mathbb E|X_n-\mathbb E[X\mid \mathcal F_\infty|^p\to 0$.

Podemos utilizar un truncamiento argumento: por un determinado $R$ hemos $$\mathbb E|X_n-S|^p\leqslant 2^{p-1}\mathbb E\left|\mathbb E[X\chi\{|X|\leqslant R\}\mid\mathcal F_n]-\mathbb E[X\chi\{|X|\leqslant R\}\mid\mathcal F_\infty]\right|^p+\\ +2^{p-1}\mathbb E\left|\mathbb E[X\chi\{|X|\gt R\}\mid\mathcal F_n]-\mathbb E[X\chi\{|X|\gt R\}\mid\mathcal F_\infty]\right|^p.$$ Desde $|\mathbb E[X\chi\{|X|\leqslant R\}\mid\mathcal F_n]-\mathbb E[X\chi\{|X|\leqslant R\}\mid\mathcal F_\infty]|$ está delimitado por $2R$, obtenemos $$\mathbb E|X_n-S|^p\leqslant 2^{p-1}(2R)^{p-1}\mathbb E\left|\mathbb E[X\chi\{|X|\leqslant R\}\mid\mathcal F_n]-\mathbb E[X\chi\{|X|\leqslant R\}\mid\mathcal F_\infty]\right|\\ +4^{p-1}\mathbb E|X\chi\{|X|\gt R\}|^p.$$ El uso de la $\mathbb L^1$ caso $Y:=X \chi\{|X|\leqslant R\}$, obtenemos $$\limsup_{n\to \infty}\mathbb E|X_n-Y|^p\leqslant 4^{p-1}\mathbb E|X\chi\{|X|\gt R\}|^p.$$ Desde esta obligado es cierto para cualquier $R$, obtenemos la quería conclusión por la monotonía de convergencia.

Answer 2

Sugerencias:

1. El uso de la desigualdad de Jensen para demostrar que $$\mathbb{E}(|X_n|^p) \leq \mathbb{E}(|Y|^p).$$
2. Deducir, a partir de $$\sup_{n \geq 1} \mathbb{E}(|X_n|^p)< \infty$$ and Doob's maximal inequality that $$\sup_{n \geq 1} |X_n| \in L^p.$$
3. Aplicar el teorema de convergencia dominada.