en estas notas que estoy leyendo me dicen que el zócalo de$K$ (donde$K \subset M$, y$M$ es un módulo) es =$K \cap$ Soc$ M$
Pero, ¿por qué es esto? Veo la intuición pero no puedo formalizar una prueba
Cualquier ayuda sería genial, gracias
Respuesta
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Hay dos formas de ver esto.
Primero, una caracterización del zócalo de un módulo$N$ es que es la suma de los submódulos simples de$N$. Los simples submódulos de$K$ son exactamente los simples submódulos de$M$ que se encuentran en$K$.
Segundo, usando el teorema que estableciste en los comentarios, deja que$f\colon K \to M$ sea el mapa de inclusión. Entonces ese teorema da$\mathrm{soc} \ K \subseteq \mathrm{soc} \ M$ y claramente está en$K$ así que$\mathrm{soc} \ K \subseteq K \cap \mathrm{soc} \ M$. Pero$K \cap \mathrm{soc} \ M$ es semisimple y un submódulo de$K$ so$K \cap \mathrm{soc} \ M \subseteq \mathrm{soc} \ K$. Por lo tanto, son iguales.
