Expansión de Taylor de la función de Error

Question

Estoy trabajando en una pregunta que implica la búsqueda de la expansión de Taylor de la función de error. La pregunta es enunciarse de la siguiente manera

La función de error se define por $\mathrm{erf}(x):=\frac {2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}dt$. Encuentre su expansión de Taylor.

Sé que la serie de Taylor de la función $f$ $a$ está dado por

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}.$$

Sin embargo, la cuestión no es dar un punto de $a$ con el que el centro de la serie de Taylor. ¿Cómo debo interpretar esto? Se pueden utilizar una serie de Maclaurin, con $a=0$? Esto parece ser lo que se hizo en la página de la Wikipedia aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

Cualquier explicaciones y consejos se agradece.

Answer 1

La elaboración de un poco de Marty comentario da lo siguiente:

$f^{(n)}(a)$ puede ser escrito en términos de los polinomios de Hermite $H_n$:

$$ H_0(x)=1,\, H_1(x)=2x,\, H_2(x)=4x^2-2,\, H_3(x)=8x^3-12x,\, H_4(x)=16x^4-48 x^2+12,\, H_5(x)=32x^5-160x^3+120x,\, H_6(x)=64x^6-480x^4+de aproximadamente 720 * ^2-120,\dots\, $$ Usted reconoce que $H_{2n-1}(0)=0$, lo que le da el poder de la serie para$e^{-x^2}$$a=0$: $$ e^{-x^2} = 1 - \frac{2}{2!}x^2+\frac{12}{4!}x^4-\frac{120}{6!}x^6+\cdots $$ (ver aquí). Después de multiplicar por $2/\sqrt{\pi}$, lo que se integra a $$ \operatorname{fer}(z) =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\ \cdots\right) . $$

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EDITAR: Desde $\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}= (-1)^n e^{-x^2} H_n(x), $ uno puede hacer un desarrollo en Serie de Taylor para cada $a$: $$ \text{fer}_a(x)= e^{-a^2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{H_n(a)}{n!}(x-a)^n $$