Generalización del teorema del punto fijo de Banach

Question

Quería demostrar que si $f:X\to X$ es una función de un espacio métrico completo a sí mismo y si $f^k$ es una contracción, entonces $f$ tiene un único punto fijo (digamos $p$ ) y para cualquier $x$ en $X$ $f^n(x)\longrightarrow p$ .

Lo que he hecho es utilizar lo que sé de Banach de la siguiente manera: Tomar $x$ arbitraria en $X$ . A continuación, considere la secuencia $f^n(x)$ que denoto por $x_n$ . Sea $x^{(i)}$ sea la secuencia $x_i, x_{i+k}, x_{i+2k}...$ para $i$ entre 0 y $k - 1$ . Como $f^k$ es una contracción, podemos aplicar Banach y así tiene un punto fijo (digamos $l$ ) y todos los $x^{(i)}$ son convergentes a $l$ .

Entonces $x_n$ es convergente a $l$ (para cualquier $\epsilon$ existe $N$ tal que $d_X(x_n, l) < \epsilon$ , este $N$ siendo el máximo de los correspondientes N obtenidos de cada uno de los $x^{(i)}$ ).

Desde $x$ fue arbitraria y $l$ es único, esto significa que $p=l$ y la prueba se ha completado.

¿Estoy haciendo algo mal o me falta algo?

Sólo quiero asegurarme de que lo entiendo bien, no se trata de una tarea o algo similar.

Gracias.

Answer 1

Creo que tu respuesta está bien, pero personalmente, yo haría esto:

$f^n$ es un mapa de contracción, con la constante $K$ por lo que tiene un punto fijo $p$

Para un fijo $x$ , dejemos que $x_1=f(x), x_2=f^2(x), ...$ y $x_n=f^n(x)$

$d(f^N(x), f^N(p)) \leq K^m d(p, f^l(x))=K^m d(p, x_l)\leq K^m\max\limits_{i=1}^n d(x_i,p) $ . Aquí $l$ es el menor número de enteros positivos tal que $N=m n+l$ ahora, como $N\rightarrow \infty$ También lo hace $m$ , $K^m\max\limits_{i=1}^n d(x_i,l)\rightarrow 0$

EDIT: Me doy cuenta, no he dado una prueba de que $p$ es una prueba de punto fijo de $f$ Pero tu prueba de esto es como yo lo haría también.

Answer 2

$f^k$ es una contracción, así que por el teorema del punto fijo de Banach, $f^k$ tiene un ÚNICO punto fijo $x^*$ , es decir: $f^k(x^*)=x^*$

Entonces: $f(f^k(x^*))=f(x^*)$ lo que significa que $f^k(f(x^*))=f(x^*)$ (aquí $f(x^*)$ es otro punto fijo de $f^k$ ).

Por la unicidad del punto fijo de $f^k$ obtenemos: $f(x^*)=x^*$ .

Finalmente, $x^*$ es el punto fijo unoque de $f$ .