Los relatos no son conmutadores

Question

Deje $X$ ser un conjunto potencialmente infinito, y $\tau$ una transposición de $X$, lo que significa \begin{align*} \tau(x)&=y \\ \tau(y)&=x \\ \tau(z)&=z \quad \text{for all} \quad z\notin\{x,y\} \end{align*} para algunos distinto $x,y\in X$

Demostrar que no hay bijections $f,g:X \rightarrow X$ satisfacción $\tau=f\circ g \circ f^{-1} \circ g^{-1}$.

Me encontré con este, mientras busca definiciones alternativas de la paridad de (finito) de permutaciones, no sé cómo demostrarlo, y mi afirmación podría ser falsa.

Una pregunta similar (que nadie me puede resolver) sería mostrar que $\tau$ no es un cuadrado, pero creo que el problema anterior requiere un más sofisticado argumento.

Mi idea era que para definir la paridad de la abelianization de morfismos. Demostrar que un producto de dos transposiciones es en el núcleo es bastante estándar, lo anterior sería un paso para demostrar que el kernel no es todo lo $S_n$.

Por supuesto, esta definición es bastante complicado. Si usted tiene cualquier inusual definición de la paridad de permutaciones de $X$, especialmente uno que nunca consiste en ordenar los elementos de $X$, yo estaría muy interesado.

Answer 1

No es cierto. Como contraejemplo, considere la posibilidad de

• $X=\mathbb Z$
• $f(n)=n+2$
• $g$ swaps $2n$ $2n+1$ $n\ge 0$ y las hojas de los números negativos sin cambios.

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De hecho, el grupo de permutaciones de un conjunto infinito tiene la propiedad de que cada elemento es un conmutador, aunque esto requiere un poco de ingenio para probar.