Cómo derivar esta equivalencia en la lógica proposicional

Question

Esta es una tarea de una clase de matemáticas discretas que nunca tomé - se pregunta cómo demostrar la declaración $\neg \neg p \equiv p$ .

El problema es que sólo se pueden utilizar las siguientes equivalencias:

• $(p \land T) \equiv p$
• $(p \lor F) \equiv p$
• $(p \lor T) \equiv T$
• $(p \land F) \equiv F$
• $(p \lor p) \equiv p$
• $(p \land p) \equiv p$
• $(p \lor q) \equiv (q \lor p)$
• $(p \land q) \equiv (q \land p)$
• $(p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r)$
• $(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)$
• $(p \lor (q \land r)) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$
• $(p \land (q \lor r)) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$
• $p \lor (p \land q) \equiv p$
• $p \land (p \lor q) \equiv p$
• $p \lor \lnot p \equiv T$
• $p \land \lnot p \equiv F$

No hay leyes de De Morgan ni nada por el estilo. ¿Alguna idea?

Answer 1

Tenemos :

$\lnot \lnot p \equiv \lnot \lnot p \land T$

$\equiv \lnot \lnot p \land (p \lor \lnot p)$

$\equiv (\lnot \lnot p \land p) \lor ( \lnot \lnot p \land \lnot p)$

$\equiv (\lnot \lnot p \land p) \lor F$

$\equiv (\lnot \lnot p \land p) \lor (p \land \lnot p)$

$\equiv [\lnot \lnot p \lor (p \land \lnot p)] \lor [p \lor (p \land \lnot p)]$

$\equiv (\lnot \lnot p \lor p) \land (\lnot \lnot p \lor \lnot p) \land (p \lor p) \land (p \lor \lnot p)$

$\equiv (\lnot \lnot p \lor p) \land T \land (p \lor p) \land T$

$\equiv (\lnot \lnot p \lor p) \land p$

$\equiv (p \lor \lnot \lnot p) \land p$

$\equiv p \land (p \lor \lnot \lnot p) \equiv p$

y está hecho.